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-=≡///:: ;; >>1 ｀'ｰ--､＼＿＿＿＿／ ＜くそすれさいこー！！ -=≡///:: ;; >>1 ｀'ｰ--､＼＿＿＿＿／ ＜くそすれさいこー！！ 次の固有値、固有ベクトルを作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよという問題
単純計算の答え合わせはwolfram先生に尋ねればいいよ
>>5 固有ベクトルは一意的ではないので、 P も一意的ではありません。
471が埋まったので
ここ使えばいいだろ、どうせ問題だしっこ公房と馬鹿アスペしかいない
赤い線の式の x に A と可換な任意の行列 M を代入することが出来る。
det(x * E_n - A) * E_n
=
x^n * E_n + x^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + x * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
(x * E_n - A) * (x^(n-1) * C_{n-1} + x^(n-2) * C_{n-2} + … + x * C_1 + C_0)
代入すると、
(M - A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)
=
M^n * E_n + M^(n-1) * a_{n-1} * E_n + … + M * a_1 * E_n + a_0 * E_n
=
φ_A(M)
が成り立つことがわかる。
A は A 自身と可換であるから、
したがって、
の最下部の計算は、明らかに無駄なことをやっている。
>>14 >>12-13 が正しいことをようやく納得したということですね？
A を任意の n 次複素正方行列とする。
A^T に定理を適用して、転置を取ればいいわけですが、
>>12 間違っている。まず、任意のスカラーλに対して
det(λI - A) * I
= λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0)
が成り立つ。特に2行目と3行目に注目すると、
λ^n * I + λ^(n-1) * a_{n-1} * I + … + λ * a_1 * I + a_0 * I
= (λ * I- A) * (λ^(n-1) * C_{n-1} + λ^(n-2) * C_{n-2} + … + λ * C_1 + C_0) … (1)
が任意のスカラーλに対して成り立っている。
MとAを可換として、λ を A に置き換えたときに、君は証明なしに
M^n * I + M^(n-1) * a_{n-1} * I + … + M * a_1 * I + a_0 * I
= (M * I- A) * (M^(n-1) * C_{n-1} + M^(n-2) * C_{n-2} + … + M * C_1 + C_0)
という等号を導出してしまっているが、この部分は全く自明ではない、と
前スレで既に指摘しているのである。それなのに、君はこの部分を相変わらず
証明なしに等号で結んでしまっている。
正しくは前スレのようにして証明する。まず、
a^2+b^2=c^2+2
>>23 存在する。 >>24 デカルト。 a^3+b^3=c^3
f(x)は3次式とする。
本年最後の出題です。傑作中の傑作をご用意いたしました。
紙を折った時、面積が同じなら同じ厚さになりますか？
xy平面上に原点O(0,0)と定点A(1,0),B(0,1)がある。
a,bを相異なる実数の定数とする。
2021!/(2^2021)は整数か。
一般にn!/2^nが整数となるのはn=0のみ
本年初の出題です。分からないので教えてください。よろしくお願いいたします。
>>38 a,bを実数の定数とする。
方程式sin(ax)=sin(bx)を解け。
ミルナーのモース理論の以下の記述が分かりません
新年良問出題大会です
A を実3次直交行列とする。
>>45 解けました。
φ_A(λ) = det(λ*I_3 - A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - det(A) = λ^3 - tr(A)*λ^2 + c_1*λ - 1
φ_A(0) = -1 < 0
lim_{λ->∞} φ_A(λ) = +∞
φ_A は連続関数であるから、中間値の定理によって、 φ_A(λ) = 0 となるような正の実数 λ が存在する。
λ に属する固有ベクトルで長さが 1 であるようなものを t1 とする。
A*t1 = λ*t1
t1^T * t1 = t1^T * A^T * A * t1 = (A*t1)^T * (A*t1) = (λ*t1)^T * (λ*t1) = λ^2 * t1^T * t1
両辺を t1^T * t1 で割ると、
1 = λ^2
λ は正の実数であるから、 λ = 1 である。
グラム・シュミットの直交化法により、 t1, t2, t3 が正規直交基底で右手系をなすようなものが存在する。
3次直交行列 T を T := {t1, t2, t3} で定義する。
T^{-1} * A * T は明らかに行列式が 1 であるような直交行列である。
T^{-1} * A * T * e1 = T^{-1} * A * t1 = T^{-1} * t1 = e1 であるから T^{-1} * A * T の第1列は e1 である。
T^{-1} * A * T の3個の列ベクトルは正規直交基底であるから、 T^{-1} * A * T の第2列、第3列の第1成分は 0 である。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, a, b}, {0, c, d}} と書ける。
2次正方行列 {{a, b}, {c, d}} は行列式が 1 であるから、回転行列である。
よって、 {{a, b}, {c, d}} = {{cosθ, sinθ}, {sinθ, -cosθ}} と書ける。
よって、 T^{-1} * A * T = {{1, 0, 0}, {0, cosθ, sinθ}, {0, sinθ, -cosθ}} と書ける。
これより、 L_A が、 t1 を方向ベクトルとする原点を通る直線を軸とする角 θ の回転であることが分かる。
>>46 Mathematica風の書き方をするなら、
T := {t1, t2, t3}
ではなく、
T := {t1^T, t2^T, t3^T}^T
と書かないと駄目ですね。
でも、 T := {t1, t2, t3} と書いても、文脈から T は第i列が ti であるような行列であると分かると思います。
お願いします。
↓以下の事実を直感的に説明できますか？
>>58 この事実は、代数的に証明してみて初めて分かることですか？
(1) n 次実対称行列 A は、直交対角化可能です。
n = 2 として、 A が回転行列である場合には、(1)でも(2)でもありませんが、 L_A は分かりやすいです。
(1)でも(2)でもない場合に、 A を分かりやすい行列に分解することはできますか？
前
>>27 >>32 y=x^3-x
y'=3x^2-1=1
x=√2/√3=√6/3
y=6√6/27-√6/3=(2-3)√6/9=-√6/9
∴P(√6/3,-√6/9)
>>54 立体の形状は簡単につかめるでしょ
だから体積も簡単に出るでしょ
和をとって極限もいけるでしょ
はい出来た、この通りにやってね
A を n 次複素正方行列とする。
A の異なる固有値を α_1, …, α_k とする。
佐武一郎著『線型代数学』
>>67 なんか成り立たない反例がありそうな気がします。
反例をお願いします。
固有空間は元の空間を分割しますから当然かと思います
>>67 V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>67 は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。
訂正します：
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>66 は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。
>>73 わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？
>>66 が成り立たない例をお願いします。
>>61 VIDEO 求めていた答えを見つけました。
前
>>64 >>32 (別解)
A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p)
加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB
=(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB
=｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2
これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？
>>66 A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}
とすると
A は正規行列ではありません。
そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。
したがって、
>>66 はやはり成り立ちません。
a,b,cを実数の定数とする。
>>75 任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？
>>79 この定理は、どの線形代数の教科書にも載せるべき驚くべき定理ではないでしょうか？
伊理正夫著『線形代数汎論』には書いてありました。
「
連続体の線形な変形を扱うとき、ユニタリ変換（回転や鏡映）を非本質的な変形とみなすと、どんな変形も、適当な直交座標軸を選べば、軸方向の伸縮として表せるということを意味している。
」
ジョルダンの標準形もいいですが、
>>79 この定理を最終目標にして線形代数の本を書くというのもいいかもしれませんね。
実2次形式のシルベスターの標準形って何か意味ありますか？
>>78 結論が気になるのですがこれが分かりません。調べてみるとminに限界があることまでは分かりましたが…
実際解こうとしても、放物線の軸の位置で場合分けしても場合分けだらけでそれ以上進めませんでした。何か別の発想が必要だと思うのですが分かりません。
よろしくお願いします。
なぜ、内積を以下のように定義しないのでしょうか？
>>84 通常の内積の定義と一致しますが、こちらのほうが分かりやすいです。
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』が明快すぎます。
ならそれ読んでればいいだろ
なんでそんな表現をするのか分からないからというある意味でメタな視点の疑問だろうな
>>78 どなたか解説お願いします
文字が多くなりすぎて計算では処理できず方針が立ちません
(1)は有名問題ですね
そうなの？aの正負で場合わけして最小値(もしくは最大値)が1以下(-1以上)になればええとちゃうの？
>>96 だよね。
a=0,b=0 なら単純に |c|≦1でxは任意の実数でよい。
a=0,b≠0なら、cが何であっても|bx+c|≦1となるxは存在する。
a≠0の場合は
>>96 の通り。
佐武一郎著『線型代数学新装版』
>>87 >>93 出題者では無いが、出題者が想定している解答方針は
|ax^2+bx+c|≦1
を
ax^2+bxy+cy^2 = t, |t|≦1,y=1
と読み替えさせるものだと思われる。
・yを導入することで、どのような見方が可能になるのか？
・tの変化で、図がどのように変化するか？
この辺に注目すれば、見通しが良くなると思う。
佐武一郎著『線型代数学新装版』
J := {{0, -1}, {1, 0}} とおくと、
>>100 それと、 p.27の問2により、 s を任意のゼロでない実数、 t を任意の実数として、
2×2 行列 {t, -(t^2+1)/s}, {s, -t}} を J として用いることができることも分かります。
2×2 行列 {t, -(t^2+1)/s}, {s, -t}} は2乗すると、 -E になるからです。
佐武一郎さんは、 s = 1, t = 0 を選択したわけです。
>>99 あーなるほど
x=1を代入すると（2）になるってことでもあるんですね
こんなのよく思いつくなーと感心します
99さんもよく見破りましたね…
キーとなるのは、p.27の問2です。
>>100 誰も説明できないということは、佐武一郎さんの説明に問題があるのかもしれませんね。
佐武一郎著『線型代数学』
自己紹介乙
佐武一郎さんの『線型代数学』を読んでいると、数学力がしっかりしているなと感心します。
実数上で連続な関数fが
いやf(x)が条件満たすときf(x+sin(πx))も条件満たすんじゃない？
あ、sin(2πx)ずらさないとだめかな
ほんとだ、たしかに満たしますね
-でもありそうだけどな
友達から急にLINEで送られてきた問題
>>120 マイナスだと
f(x)^2-f(x+1)*f(x-1)=1
になるんですよね
すべての実数xについて
>>122 せやね
あかんね
そもそもよくよく考えたら
・ac-b^2=1というa,b,cを選ぶ
・f(1).=a,f(0)=b,f(-1)=cとなる[-1,1]で定義された連続関数をなんでもいいからひとつ選ぶ
・f(x+1)f(x-1)-f(x)^2=1を漸化式と思って延長する
で「xが整数のとき整数値」以外の条件は全部満たされるから結局この問題
「f(x+1)f(x-1)-f(x)^2=1を漸化式と思って整数全体に定義域を広げても全て整数値をとる(a,b,c)の組みがどれくらいあるのか」って話だな
いわゆる“Somos dequence”のタイプの問題
確か最初の何項かが整数なら後全部整数になるとかそんな形で解決してたような
Laurant phenomenon
とかいうタイトルの論文に書いてあったような
f(x)^2-f(x+1)*f(x-1)=1
>>119 できた
そもそも
>>127 で書いた通りf(-1),f(0),f(1)をf(1)f(-1)-f(0)^2=1となる整数に選んでしまえば残りは[-1,1]で連続になるように好きに選べるから事実上f(-1),f(0),f(1)の選び方の自由度しかない
f(n)を整数上だけに制限したものをa[n]とおく
a[n]として許されるのは(a[-1],a[0],a[1])=(1,1,2)と選んだ場合とそのシフトと変換a[n]→a[n](-1)^nを施して得られるものしかない
まず0が出てこれないのは容易
変換を施して隣接2項が共に正であるようにとれる
すると漸化式より全項正
a[n]<√(a[n]^2+1)=√(a[n-1]a[n+1])
により“凸”である正の整数列だから最小値を持つ
シフトしてa[0]が最小としてよい
もしa[1],a[-1]≧a[0]+1なら
a[1]a[-1]-a[0]^2≧2a[0]+1>1
で矛盾
よってa[1],a[-1]のいずれかはa[0]に等しい
やはり必要ならシフトしてa[-1]=a[0]としてよい
このとき
1 = a[1]a[-1]-a[0]^2 = a[0](a[1]-a[0])
によりa[0]=1,a[1]=2
またこのとき条件が満たされるのは
>>114 の一般項の表示から明らか
ちょい訂正
>>129-130 なるほど、では1,1,2タイプしか存在しないのですね
ありがとうございました
>>132 遅延微分方程式。普通の微分方程式より多くの解がある。
>>136 へえ、やはり研究されてるんだね
でも全てのxで定義されてる非自明解ってほんとにあるの？
f’(x)=f(x+π/2)ならsinxがあるわけですからなんかあるんじゃないですか？
f(x)=e^(ax)cos(bx)の係数調整でいけるんかな
ランベルトの複素関数的性質よく分からんけど
p<qである有理数p,qに対し、p<a<qを満たすできる限り初等的な無理数aの例を1つ挙げ（p,qで表し）、またaが無理数であることを説明せよ。
>>141 これってpとqを内分する無理数を上手く取ることはできませんか？
>>145 ありがとうございます
√を使って内分するとできるんですね
理解できました
nCkが整数であることを、「組み合わせの数だから整数になる」という言い方を使わず、数式だけで説明するにはどうしたらいいですか？
二つの級数 Σa_n, Σb_n が与えられたとき、 a_i * b_j = a_{ij} とおく。いま、自然数の組 (i, j) の全体を一列に並べると級数 Σc_{ij} が定まる。
後半の証明ですが、
訂正します：
Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n
12345...2021 × 9999 ＋ 2022
点Ｐから△ＡＢＣの各辺ＢＣ,ＣＡ,ＡＢに垂線を下した時の交点をＬ,Ｍ,Ｎとする。
>>153 12345…2021って何？
123456789101112131415……2018201920202021
ってこと？
x>0 に対して -x-coshxsinhx+2(sinhx)^2/x<0 になりますでしょうか。
A, B を n 次複素正方行列とし、 A*B = B*A が成り立つとする。
>159
>>147 nCk=n(n-1)…(n-k+1)/k!
で分子は連続するk個の整数なのでkで割った余りは0,1,2,…k-1を一つずつ取る。
分子はk以上の数の積。よってiの倍数(1≦i≦k)をいずれも含みnCkは整数。
>>147 nの階乗を素因数分解した時、素因数pの指数qは、
q = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + [n/p^4] +... = Σ[t=1,∞]([n/p^t])
で計算できます。
C[n,r]=n!/((n-r)! r!) なので、C[n,r] を素因数分解した時、素因数pの指数qは、
q = Σ[t=1,∞]([n/p^t] - [(n-r)/p^t] - [r/p^t])
で計算できますが、一般に、
[(a+b)/k] ≧ [a/k] + [b/k]
である事を考えれば、q≧0が分かる。
C[n,r]の任意の素因数について、指数が非負であることが示せるので、C[n,r]は整数だと結論できます。
平面上に２点Ａ，Ｂを結ぶ直線ＬとＡ，Ｂの中点Ｏがある．
>>147 パスカルの三角形で帰納法使えばいいんじゃないかな
ア・ゲ・クローシュ著『代数学教程2』に、
>>152 疑問の意図が読み取れてないかもしれないけど例えば
an:1,1,0,0,0,...
bn:1,-1,0,0,0,...
なら
cn:1,0,-1,0,0,0,...
だからΣ|c_n| < Σ|c_{ij}|になるんでは
nは自然数で、n≧2とする。
(n^2+1)/(n+1) -(n-1) = 2/(n+1) ∈ (0,1)
a,bが互いに素な整数のとき、
あれ、これ前のスレでもあったような
ア・ゲ・クローシュ著『代数学教程2』に、
(a * a) * a ≠ a * (a * a)
>>181 非可換環で、そのある元 a に対して、
(a * a) * a ≠ a * (a * a)
となるような演算の例をあげてください。
環なら可換だろうが非可換だろうが結合律が定義に入ってるだろうが
分配多元環で、そのある元 a に対して、
分配多元環で、そのある元 a に対して、
クローシュの本には、環の定義から結合律を除いた公理を満たす集合を非結合環と書いていますね。
微分可能な増加関数f, gが
f(x)=f(1)+∫(1->x)f'(t)dtの形で比較
松坂和夫著『代数系入門』の第3章「環と多項式」に加法群の自己準同型全体の集合が環になるということを例でチェックしています。
a * (b + c) = a * b + a * c が成り立ちませんね。
>>193 松坂和夫さんは、いかにもこういうことを注意書きしそうですが、していません。
らしくないですね。
なぜ人の言うことを聞く気がないのに質問するのでしょうか？
聞こえの良い回答を摘まみ食いしたい根性から卒業できないからじゃね？
>>194 どうしてそこで左分配則だけが成立する代数系を調べてみよう、なんて思わないんだろ。
左分配則だけが成立する代数系てなんかあるんですか？
流れがわからないけど
次の二項係数の比の極限を求めよ。
>>201 それは分かります
求める過程が分かりません
三角形ABCの中に点Pを取った時にAB+AC>PB+PCを証明せよという問題が分かりません。
>>204 高校1年で習う範囲
チャート式にそのまんまの例題が載ってるから本屋行って見てきたら
>>204 点 B と P を結ぶ直線と線分 AC との交点を Q とする。
三角不等式より、
BA + AQ > BQ = BP + PQ
PQ + QC > PC
これらの不等式の左辺同士、右辺同士を足し合わせて大小を比較すると、
BA + AQ + PQ + QC > BP + PQ + PC
BA + AQ + QC > BP + PC
BA + AC > BP + PC
今日も「解いた側」の圧勝かぁ・・・。
>>198 「左分配則」というのが
>>193 のどちらの等式を指すのでしょうか？
それが、 a * (b + c) = a * b + a * c のほうだとすると、
加法群 A から A へのすべての写像の集合の積（写像の合成）を * として、
加法群 A から A へのすべての写像の集合上の新たな積 × を、
a × b := b * a
と定義すればいいのではないでしょうか？
>>200 C[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]
=[(n^2+2n)...(n^2+n+1)]/[(n^2+3n)...(n^2+2n+1)]
=1/[(1+(n/(n^2+2n))...(1+(n/(n^2+n+1)))]
=1/[(1+(1/(n+2))...(1+(1/(n+1+(1/n))))]
よってC[n^2+2n,n]/C[n^2+3n,n]の逆数は
Pn:={1+(1/(n+1)}^nより大きくQn:={1+(1/(n+2)}^nより小さいが
いずれもn→∞でeに収束するので求める極限は1/e
>>211 PnとQnの大小が逆だったが趣旨は特に変わりないはず
連続関数f(x)が
>>200 スターリングで求めるなら
与式= {(n²+2n)!(n²+2n)!}/{(n²+3n)!(n²+n)!}
= √{2π(n²+2n)} * {(n²+2n)/e}^{n²+2n} * .. / .. .. + o(1)
= (1+2/n)^{2n²+4n} * (1+3/n)^{-n²-3n} * (1+1/n)^{-n²-n} + o(1)
= (1+4/n+4/n²)^{n²} *(1-3/n+9/n²-...)^{n²} *(1-1/n+1/n²-...)^{n²} * e^{8-9-1} + o(1)
= { 1 +1/n² + O(1/n³) }^{n²} * e^{-2} + o(1)
= 1/e + o(1)
>>210 イヤイヤ、そういう技術的定義の問題ではなく、
左分配則が成り立たない代数はどう特徴づけられるか、を考えたらどうですか、という老婆心。
例えばとして、こんな命題（真か偽かは知らんよ）を考えて見たくならない？。
集合Aには二つの演算 + と * が定義されており、
+に関しては可換群をなし、 * と + については右分配則は成立するが左分配則は成立しないとする。
ことのとき、適当な可換群XをとればXからXへの写像の全体Bにかくかくしかじかの演算（今話題にしている演算のことね）を定義すれば、
AとBは次の意味で同型である、
なんて話。
書き足りない部分は適当に想像して補ってね。
>>217 ＞書き足りない部分は適当に想像して補ってね。
すぐ著者のせいにする松坂くんにそれは酷というものだ
p を素数とする。
>>219 A = [ a ,b ; c, d ], a ,b , c, d ∈ Z_p
ad ≠ bc (mod p)
(1) ad = 0
a=0, a≠0 で場合分けして, (a, d) の組は p + (p-1) = 2p-1 通り
b,c は 1,..,p-1 つまり (b,c) : (p-1)² 通り
(2) ad ≠ 0
ad=k(≠0) と a(≠0) を固定すると d=k*a^{-1} で一意に定まるので (k, a) : (p-1)² 通り
ここで bc=k' (≠k) と置く
(2-1) k' = 0
b=0, b≠0 で場合分けして, (b,c) : 2p-1 通り
(2-2) k' ≠ 0
(k',c) つまり (b,c) : (p-2)(p-1) 通り
(1),(2) より
#G = (2p-1)(p-1)² + (p-1)²(2p-1 + (p-2)(p-1))
= p(p+1)(p-1)²
(もっとエレガントな解法がありそう)
検算(PARI/GP)
? p=prime(17)
= 59
? cnt=0; for(a=1,p,for(b=1,p,for(c=1,p,for(d=1,p, if((a*d-b*c) % p != 0, cnt++))))); cnt
= 11908560
? p*(p+1)*(p-1)^2
= 11908560
n∈Z⊂Z_p に対して [[1 n][0 1]]∈G だから、正解は #G=∞ じゃないの
ついでに，
G を群とする。
ab = ( RHS of ② ) × ( RHS of ① )^(-1) = a^(i+1)ba^(-i)
(a * b)^i = a^i * b^i
ところで、この問題の次の問題が以下の問題です：
(a * b)^0 = a^0 * b^0
もし、
>>230 の問題が試験で出題された場合、
>>231 この解答でOKですか？
>>230 の問題は別に任意の i, i + 1 に対して成り立つことを仮定していません。
ある i, i + 1 に対して仮定が成り立つが、 G は非可換でありえるということを示せば十分なはずです。
だからそういう当たり前の束縛をキチンと書けないからアホなんだよ
>>226 はエスパーしてやったがそういう当たり前の束縛をキチンと記述できないのがアホの証なんだよ
>>225 この2つの問題はある教科書に載っている問題です。
>>236 教科書に載ってる文章だろうがなんだろうが
>>235 を読んで「ああ、そうだ、その通り」って思えないからさらにアホなんだよパープー
吉祥寺より西の音大を卒業したピアノレッスンプロとかならすべての時代で比較しても最高峰のピアノの弾き手気分丸出しで高ビーにご指導なさりますかもしれませんね。
a^2+b^2=c^2を満たす正整数の組(a,b,c)全体からなる集合をSとする。
△ABCにおいて、BD:DC=1:2に内分する点D、CE:EA=1:2に内分する点E、AF:FB=1:2に内分する点Fをとる。
以下のような、 G とその上の２項演算の例をあげてください。
訂正します：
訂正します：
訂正します：
あ、わかりました。
G = {e, a}
e * e = e
e * a = e
a * e = a
a * a = a
と G とその上の２項演算を定義すると G は
>>247 の条件をすべて満たします。
有限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation law および left cancellation law が成り立つとする。
結合律と左簡約律により積準同型G→Aut(G)を得る
運用板にて
http://2chb.net/r/operate/1600543268/26 > [ 運用情報 ] 当分お断りしております。
> 26 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM [sage]： 2020/12/27(日) 06:19:42.85 ID:TP6kegao0
> どうしたら書きこめる？
> 三角比を使わずに解いたって、伝えてくれ。
>>249 a を G の任意の元とする。
S_a : G ∋ x -> x * a ∈ G
T_a : G ∋ x -> a * x ∈ G
とする。
right cancellation lawにより、 S_a は単射。 G は有限集合だから、 S_a は全単射。
left cancellation lawにより、 T_a は単射。 G は有限集合だから、 T_a は全単射。
T_a は全射だから、 S_a(x) = a を満たす x ∈ G が存在する。
b を G の任意の元とする。
S_a(T_b(x)) = T_b(S_a(x)) = T_b(a) = S_a(b)
S_a は単射だから、 T_b(x) = b
∴ x は G の右単位元である。
b を G の任意の元とする。
T_b は全射だから、 T_b(y) = x を満たす y ∈ G が存在する。
∴ b は右逆元をもつ。
以上より、 G は群である。
有限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation lawが成り立つとする。
あ、簡単ですね。
ID:h0H/Iv3uさんの本名がわかりません
http://2chb.net/r/math/1642584063/ こちらの質問に回答よろしくお願いします
無限集合 G の上に associative product が定義されていて、right cancellation law および left cancellation law が成り立つとする。
あ、瞬間的に答えが思い浮かびました。
n > 2 とする。
1～5のうち、AとBの単語の関係が、CとDの単語の関係と等しくないのはどれか。
A is to B what C is to D って構文を思い出した
aを実数とし、α=a+ia^2と表される複素数αを考える。ここでiは虚数単位である。
太郎がマンコつきチンコなしの場合などを考えれば、他と全然違うのはカンですぐに分かるんじゃない
偶数は整数の一部
>>243 メネラウスの定理より、
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(1/2)(3/7)=3/14
スレタイを「分からない数学の問題はここに書いてね」にしようか
くだらねぇ問題はここへ書け
http://2chb.net/r/math/1412425325/ 昔はこっちのスレもにぎわってた
テンプレに載る2大質問スレだった
漸化式 a[n+1]=(Aa[n]+B)/(Ca[n]+D) , a[0] ∈ 複素数
αを複素数の定数とする。
α、β(α≠β)を0とは異なる複素数とし、複素数平面上の3点O(0)、A(α)、B(β)と、△OABの外接円Cを考える。
272は軌跡の限界が分かりません。
>>266 偶数は整数の半分だけど太郎は男性の半分ではないからでは？
1から10までの数字を4つ選んで和が28になる組み合わせは何通りか。(同じ数字は一度しか使えない)
>>266 太郎が男性とは限らない
蓋然性と可能性の違い
そんなこといったら
1が正解である理由を教えてほしいと言ってるのにその屁理屈いるか？
前
>>267 訂正。
>>243 Aを起点にメネラウスの定理より、
(AF/FB)(BC/CD)(DR/RA)=1
(1/2)(3/2)(DR/RA)=1
DR/RA=4/3
対称性よりEP/PB=4/3
Ｂを起点にメネラウスの定理より、
(BP/PE)(EC/CA)(AP/PD)(DC/CB)=1
(3/4)(1/3)(AP/PD)(2/3)=1
AP/PD=6
AR:RP:PD=3:3:1
RP=(3/7)AD
対称性よりPQ=(3/7)BE,QR=(3/7)CF
図を描き考えた。
∴(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(7/9)(3/7)=1/3
>>277 プログラムに検索させてもその９通りになった。
> cm[rowSums(cm)==28,]
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 8 9 10
[2,] 2 7 9 10
[3,] 3 6 9 10
[4,] 3 7 8 10
[5,] 4 5 9 10
[6,] 4 6 8 10
[7,] 4 7 8 9
[8,] 5 6 7 10
[9,] 5 6 8 9
>>279 ちなみに坂東太郎といえば利根川のことである。
tを実数の定数とする。
>>281 作図して計測して比をだしたけど、一定の値にならなかった。
>>277 【発展問題】
1から100までの数字を4つ選んで和が123になる組み合わせは何通りか。(同じ数字を何度使ってもよい。)
前
>>281 >>285 やっぱり1/3にはならないか。
AF=BP=PQとか一致しすぎだもんね。
前
>>288 >>286 1+0.5+1/3+(123-1.5-1/3)=123
30+30+31+32=123
∴無数通り
前
>>289 訂正。
>>286 1+1.5+5/2+118=123
30+30+31+32=123
∴無数通り
前
>>290 >>243 Aを起点にメネラウスの定理より、
(AF/FB)(BC/CD)(DR/RA)=1
(1/2)(3/2)(DR/RA)=1
DR/RA=4/3
対称性よりEP/PB=4/3
Ｂを起点にメネラウスの定理より、
(BP/PE)(EC/CA)(AP/PD)(DC/CB)=1
(3/4)(1/3)(AP/PD)(2/3)=1
AP/PD=6
AR:RP:PD=3:3:1
RP=(3/7)AD
対称性よりPQ=(3/7)BE,QR=(3/7)CF
BE/AB,CF/BC,AD/CAは定まらないが、
(AD+BE+CF)/(AB+BC+CA)=8/9とすると、
(PQ+QR+RP)/(AB+BC+CA)=(8/9)(3/7)
=8/21
=0.380……
>>277 【発展問題】
1から100までの整数を4つ選んで和が123になる組み合わせは何通りか。(同じ数字を何度使ってもよい。)
α、βは任意の実数kに対してα≠kβを満たす、0とは異なる複素数とする。
問題 僕は今コロナですが、567つの非自明な真性特異点を持つ複素関数を一つ考えて欲しいです
kを実数の定数とする。
>>299 複素数αに対して、α*でαの共役複素数を表すものとする。
どうしても解けない
明日受験なんだ。
みんな助けて・・・
過去問に回答が付いてないんだ。
>>301 (円全体の面積-真ん中の正方形の面積)/2
=(100pi-100)/2
=50pi-50
3秒で解けるが何をそんなに悩んでるんだ？
>>302 理解できた！
ありがとー
これで明日は憂いなく受験できるよ
>>299 どこが分からないのだろう？
素直にα=x+iy (x,、yは実）と置き、与えられた方程式をｘ、yの方程式として書き直せばいいだけ、かな？
前
>>291 >>301 左下の一辺5の正方形の斜線部分を、
上に移動して埋めあわせ、
左下から二段目の一辺5の正方形の斜線部分を、
右上に移動して埋めあわせると、
ちょうどワカメちゃんかちびまる子ちゃんみたいなおかっぱ頭の髪型になるから、
髪=半円-額となり、
π10^2/2-5×10=50π-50
∴④
>>304 |α|α+ik(α-α*)=1
√(x^2+y^2)*(x+yi)=2ky+1
(x+yi)=(2ky+1)/√(x^2+y^2)
右辺は実数。よってy=0。
x|x|=1
x=1
したがってα=1
入試問題としての難易度も適度で、答えの美しさもあいまって、これは傑作です。
>>295 難問で手が出ません。
どなたかよろしくお願いいたします。
>>295 ４点が同一円周上にある条件と二直線が垂直になる条件を複素数で表して計算すると
α,βの共役をα'β'とする
w=(α'β'(α-β)^2+αβ(α'-β')^2)/{(α'β-αβ')(α'-β')}
>>309 ありがとうございます
同一円周上にある条件を式にするのはどういう方針でいけばいいですか？
エアリー関数を
>>310 0,α,β,zが同一円周上⇔４点の複比(cross ratio、非調和比）が実数
⇔(β-z)(α-0)/(α-z)(β-0) が実数 ⇔(β-z)(α-0)/(α-z)(β-0)＝(β'-z')(α'-0)/(α'-z')(β'-0)
４点の配置がどういう順番であっても
円周角の定理の逆か対角の和がπになる条件になっている
詳しくは「同一円周上 複素数」で検索すればたくさん解説されてる
x^(2)y''-xy'+y=0
R*をRの乗法群とし、Q*をQの乗法群とする。R*/Q*を考える。√2Q*はR*/Q*の元ですが、√2Qの代表元としてもっとも自然なのは√2です。
確認したいんですけど、
a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす正の実数とする。
【訂正】
>>319 a/c+b/c=(a+b)/c
={√(c^2-a^2)+a}/c
={√(1-(c/a)^2)+a/c
1>a/c=t>0とおいて
√(1-t^2)+t
この先が分かりません
a/c=X, b/c=Yっておいたら
条件式はX^2+Y^2=1かつX,Y≧0
求めるのはX+Yの最大値だから、X+Y=kっておいてX,Y平面で考えるのが一番簡単
>>320 の方針で行くんなら
・√(1-t^2)+tを微分してグラフ描く
・√(1-t^2)+t=kっておいて√(1-t^2)=k-tを両辺2乗して出てくるtの2次方程式が
0<t<1かつk-t>0の範囲に解をもつためのkの範囲を求める
.t=cosθ(0<θ<π/2)でおく
とかがいいんじゃない
>>315 x, x log x が独立解
t=log x とおくとtについて２次の定数係数
>>322 僕は教科書の公式みたいなのに当てはめてときたいんですが
px=-1/x,qx=1/x^2としてから進まないです
方程式x^p+y^p=1^pでp次平均ノルムにおける単位円を表すとき、円周率π_pを
アーベル群が位数 m および n の部分群を持つとき、位数が m と n の最小公倍数であるような部分群を持つことを示せ。
G を位数が3の倍数ではないような有限群とする。
n を法とする既約剰余類群が巡回群になるのは n がどんな場合か？
群 G において、
(1)しか解けませんでした
解答教えて下さい
>>325 任意の正の実数s,tに対して
xy平面の4格子点（原点O,A,B,C）が
>>335 （１）（２）を満たす4角形OABCの面積の最小値は１？
面積3のは見つかったけど。。面積3より小さい例があれば教えて
a,bはa>b>0を満たす実数の定数とする。
335 これか。面積最小性の証明は計算で試みたが複雑になりそうでやめた
自由群、生成元と関係式について詳しく書いてある本を教えて下さい。
>>338 y'=0を与えるxをa,bで表すことができません。何回微分してもだめなのでしょうか。よろしくお願いいたします。
>>341 へ？
f'(x) = ax^(a-1) - bx^(b-1) =x^(b-1) {ax^(a-b) - b}
だから、x=0とx= (b/a)^{1/(a-b)} でf'(x)=0 じゃね？
>>342 易問だったんですね
b乗で括れるのが見えませんでした
ありがとうございました
>>340 和書なら鈴木通夫「群論」上（岩波）
洋書なら昔の本が色々ある
a[1]=2,a[2]=3
群論用のソフトを使おうとすると、生成元とか知っていないと使えないですよね。
a[3]=6
x>0において、e^(x*ln(x))-(x*ln(x))^eの増減を調べよ。
pを実数の定数とする。x>0で定義された関数
S_4
一辺1の正n角形型の道路があり、各頂点には0以上n未満の整数が書かれた紙が落ちている。
>>352 H := {(1 2)*(3 4), (1 3)*(2 4), (1 4)*(2 3)} の各元の S_4 における代数的性質は全く同じです。
さらに、 H の各元と H の元でない元との代数的性質は何らかの点で異なるはずです。
以下、4桁の10進法の整数Nに対し、pqrsでNの各桁の数字を表すものとする。
（1）連立方程式
統計の質問です。生徒20人のテストを似たような問題で、①授業前、②授業後、③授業1カ月後の3回行いました。
for any fixed positive integer n,
iは虚数単位で、nは正整数とする。
知り合いに出されたガチャの問題がわかりません。
>>361 二項定理から
確率pの試行がn回中k回だけ当たる確率は
（当りk回、ハズレn－k回の組合せの数）
×（当り確率のk乗）
×（ハズレ確率のn－k乗）
＝nCk・p^k・(1－p)^(n－k)
確率 4/1000 が 60 回中 2 回だけなら
(60×59/2)・(4/1000)^2・(996/1000)・58
≒0.022445789
で、約2.24％
60 回中 2 回以上は 約2.43％
60 回中 1 回だけは 約18.95％
60 回中 1 回以上は 約21.38％
>>362 ありがとうございます。二項定理なるものがあるんですね。
すみません。実は知り合いじゃなくて、問題出してきたの兄なんです。
頭が良い回答すぎて私の回答でないことがバレちゃいます。（中3です）
私の計算を発展させる形（似た形）で2枚当たる確率を求めることは可能でしょうか。
最初は21.3%（1枚当たる確率）が2回起こる確率かと思って計算したのですが、
21.3% = 213/1000
213/1000 × 213/1000 = 45,369/1,000,000
45,369/1,000,000 = 0.045369 ≒ 4.5% になりました。
これは、何を求めたことになっちゃってるのでしょうか。。
試行30回の時の確率を2倍にすればいけるかと思ってもみたのですが、
以下は結果的に試行60回の時の確率を求めてるに過ぎないのでしょうか。。
(996/1000)^30 = 0.886707032
1 - 0.886707032 ≒ 0.113292968 ≒ 0.11 × 2倍 → 0.22（22%）
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
n次多項式f(x)で、以下の条件を満たすものは存在するか。
>>365 ※存在するならば全て求めよ。存在しないならばそのことを証明せよ。
>>365 f(k+1)/k!=f(1)
f(k)=f(1)(k-1)!
limf(k)/k^n=a_n ⇒ f(1)=a_n=0 ⇒ f(x)=0
【すいません改題します】
>>369 【さらに訂正します。すみません。】
【すいません改題します】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/{r-(1/2)}^3を求めよ。
分からない問題について質問するスレで、
>>371 いやでも本当に分からないんです
領域「Cの外部かつDの内部」の体積が具体的に計算できないので難しいです
はさみうちしようと思ったのですが具体的にはさむ関数を見つけられませんでした
Aut(S_n) と S_n は n = 6 でないとき、同型であることを証明せよ。
>>374 何か昔やったかなあ
可遷性とか使うんだっけ？
ギヴアップ
>>376 【さらに訂正します。】
xyz空間に球C:x^2+y^2+z^2=1と球D:(x-r)^2+y^2+z^2=r^2がある。
いまDの一部もしくは全体が、Cの外部かつx>0の領域にあるとする。領域「Cの外部かつDの内部」の体積V(r)に対し、lim[r→(1/2)+0] V(r)/{r-(1/2)}^2を求めよ。
自己解決したので以後解答を禁止します、とはっきり書きましょう
pを実数の定数、f(x)はxの2次以下の多項式でf(x)=x^2+f(p)x+1を満たすものとするる。
VIDEO このYouTube企画が成功する確率を求めたいと思って紙とペンで計算してみてるんですが、自分なりに計算したところ成功するパターンが9!で362880通り、全部のパターンが2^9×2^8×2^7...×2^1で約35兆、割って約9700万分の1となりました、間違いの指摘オナシャス！
>>382 ですが一応動画の1:40あたりからルール説明があるんですが9人で9つのパートに別れた曲を誰かと被らずに歌い終えたら成功というものです、歌い出しで誰も歌わなかったりもするし数人同時に歌ったりもする中、順序の打ち合わせ無しに1人ずつ歌えたら成功です
9!/9^9=0.0009366567084...=1/1067.6270089...
>>381 f(x)=x^2+f(p)x+1
f(x)=ax^2+bx+cとおくと、a=1,c=1
よってf(p)=p^2+bp+1=b…①
i)p=1のとき
①はb+2=bとなって、これを満たす実数bは存在しないから不適。
ii)p≠1のとき
b=(p^2+1)/(1-p)
b^2-4<0⇔{(p^2+1)/(1-p)}^2-4<0
(p^2+1)^2-4(1-p)^2<0
したがって求める条件は
p^4-2p^2+8p-3<0…（答）である。
なおp=1はこの不等式を満たさない。
xは実数とする。f(x)=x^2+xf(x)+1について、以下の問いに答えよ。
OA=3,OB=4,OC=5の四面体OABCにおいて、底面である△ABCは正三角形であるという。
任意の正整数nに対して、n^2+3とan^2+bが互いに素となるような2以上の正整数a,bが存在することを示せ。
n個の箱に、n個のボールを無作為に投げ入れる。
>>389 ある箱にちょうどk個入る確率は
C[n,k]*(n-1)^(n-k)/n^nだから期待値の加法性より
(1)n*(1-(1-1/n)^n-(1-1/n)^(n-1))
(2)n*C[n,3]*(n-1)^(n-3)/n^n
=(1/6)*(n-2)*(1-1/n)^(n-2)
>>388 a=2,b=7のときn^2+3と2n^2+7は互いに素
出題意図がよくわからん
>>363 21.3%は「60回引いて全部外れる」が起こらない確率なので
言い換えると当たりが1枚以上出る確率（2枚以上出る可能性も含めている）
まずこの部分を混乱しているように見える
ちょうど1枚だけ出る確率を求めるには
60回のうち何回目に当たるかで場合分けして
それぞれが起こる確率（どれも等確率）を足せばよい
細かく書くと
1回目に当たる確率：0.004×(1-0.004)×...(1-0.004)
...
60回目に当たる確率：(1-0.004)×...0.004
なので結局それぞれの確率を60倍すれば良い
ちょうど2枚引く確率も同じ方針で行ける（もう正解書いてあるけど）
60回のうちどの2回が当たりのときかをまず考える
今の教科書がどうなってるか分からないけど例えば樹形図書くなどして数えて60×59/2通りになる
△ABCとAを通る直線lとl上の点Dがあるとき
失礼。書き直し
あっ平行四辺形の対角線の交点がPとなるようにすればいいだけだった
複素数平面において、点P(z)がO(0)とA(1+i)を結ぶ直線上を動くとき、w=az+bz'の存在する領域を求めよ。
a,b,c,x,y,zすべて正の数とする
>>398 (a,b,c)=(2,3,4)
(x,y,z)=(1,1,9)
>>399 最初の条件は等号なので反例になってない
問題が成立してないでしょ
AB=4,BC=5,CA=6の△ABCの内心をI、外心をOとする。
1,2,...,nと番号が書かれたカードn枚が袋の中に入っている。
1.
3.
SageMathで試してみましたが、
>>410 は成り立ちませんね。
G1 = CyclicPermutationGroup(4)
G2 = CyclicPermutationGroup(2)
D = direct_product_permgroups([G1, G2])
D.order()
D.is_subgroup(SymmetricGroup(6))
a = D.gens()[1]
b = D.gens()[0]
H1 = D.subgroup([a * a])
H2 = D.subgroup([b])
print(H1.is_isomorphic(H2))
print(H1.is_normal())
print(H2.is_normal())
print(D.quotient(H1).is_isomorphic(D.quotient(H2)))
訂正します：
SageMathで試してみましたが、
>>410 は成り立ちませんね。
G1 = CyclicPermutationGroup(4)
G2 = CyclicPermutationGroup(2)
D = direct_product_permgroups([G1, G2])
a = D.gens()[1]
b = D.gens()[0]
H1 = D.subgroup([a * a])
H2 = D.subgroup([b])
print(H1.is_isomorphic(H2))
print(H1.is_normal())
print(H2.is_normal())
print(D.quotient(H1).is_isomorphic(D.quotient(H2)))
C4×C2へのC2の埋め込みで商がC2×C2,C4がでてくる
H1 と H2 が同型であっても、それらの外部の G の元との関係が H1 と H2 で異なるということですね。
もっと一般に完全列e→N→G→Q→eでGがN×Qと同型でないのもってくれば
>>410 しおもな
Z2×Z4⊃Z2×1, 1×Z2
数学的帰納法による証明では、ベースケースをインダクションステップで一切使わない証明があります。
なんか群論って組合せ論に似ていませんか？
8人を4人ずつの2チームに分ける時の決め方について以下のルールで行うとしたとき引く順番が後ろの人が同じチームになりやすいかどうか知りたいです。
(0,0)から確率1/2で+1右または上に移動しながらx+y=8に進む試行を考えて
8人を4人ずつの2チームに分ける時の決め方について以下のルールで行うとしたとき引く順番が後ろの人が同じチームになりやすいかどうか知りたいです。
ここは分からない問題を書くスレです。
というか数学板の風習をよく知らないんだけど
こんばんは。学生です。
>>419 >組合せ論と同じで一段低く見られていますか？
お前が組合せ論について何を知ってるって言うんだ
パズル的に問題が解ける初等的な群論しか知らんのやろ
以下の条件を満たす集合Sを「T集合である」と定める。
以下の条件を満たす3次式f(x)を全て求めよ。
光速か亜光速なみの高速で回転する白い円盤上に醜いｱﾋﾙの子柄を二点おいて高速回転させた時に二点の醜いｱﾋﾙの子柄は、超ハイスピードカメラとかが開発されてその詳細が捉えられたらどう変化して見えるか予測できるでしょうか？
次の循環小数を分数の形で表せ。
lim[n→∞] {1+(1/n)}^{n+(1/m)}
>>434 ちょうどn個の要素からなる例を挙げてください。
誰かできませんか？
>>436 単位円周を１を頂点の一つとしてｎ等分すればよい
>>437 x=0.142856142856..
10^6*x-x=142856
x=142856/999999=20408/142857
>>435 {1+(1/n)}^{n+(1/m)}
={1+(1/n)}^n*{1+(1/n)}^(1/m)
第2因子は1に収束するから全体はeに収束
>>427 2回目の取り出しでの印のついたピースの比率が
おおよそ全体における印のついたピースの比率と近いだろうと考えられるので
ピース全体:1回目に印をつけた数
=72:9
ピース全体:75=8:1
よりピース全体は75*8=600個程度と推定される
430の解は
沖縄県疫学統計・解析委員会は、新型コロナウイルスワクチンの接種回数が多いほど、
sin(pi*sqrt(5))+sin(pi*sqrt(6))+sin(pi*sqrt(7))+sin(pi*sqrt(8))
「2変数関数 f(x,y) について、任意の実数 k に対して lim[x→0]f(x,kx)＝0 のとき
f(x,y):=1 (if (x,y)=(0,0)), :=0 (else)
>>446 (x,y)=(1/n,1/n^2)(nは自然数)のときf(x,y)=1
それ以外のときf(x,y)=0
(0,0)以外では連続が要求されてるとして
よろしくお願いします
あるいはもっとシンプルに
>>446 f(x,y):=y^2/x
lim[x→0]f(x,kx)
=lim[x→0](kx)^2/x
=lim[x→0]xk^2
=0
lim[x→0]f(x,g(x))
=lim[x→0]((g(x))^2)/x
=lim[x→0](g(x)^2)'/(x)'
=lim[x→0]2g(x)g'(x)/1
=lim[x→0]2g(x)g'(x)
g(x):=√(2x)
=lim[x→0]2√(2x)*(√2x)'
=lim[x→0]2√(2x)*(1/√(2x))
=lim[x→0]2
=2
>>447-449 >>451-452 どうも有り難うございました！
お陰でスッキリしました
外心Oと内心Iが異なる位置にある三角形ABCで、OIとAOが直交するのはどのような三角形ですか？
前
>>305 >>454 Bが直角の直角二等辺三角形。
東京大学（理科）入試問題
G = GL(n, R)
1,2,...,nと番号が書かれたカードn枚が袋の中に入っている。
私が分からない問題に解答・指針をいただけないのは何故でしょうか
おもんないからやろ
>>460 >B君がNを突き止める
N=1のときは1が出るまで
N=nのときはnが出るまで
2≪N≪n-1のときはn=N,N-1のどちらもが出るまで
>>464 >N=nのときはnが出るまで
またはn-1までが全部出たn-1回目
>>462 面倒くさい問題の解答こそがほしいのです
例えば△ABCの外心O内心IとしてAO⊥OIがどのような条件で成立するか興味深いですが、ベクトルや座標での計算ではまるで見通しが立ちません
初等幾何が苦手なので解法を教えていただきたく存じます
>>465 違うか
N=nのときはn-1が出るまで
>>466 この問題で見通しが立たんのなら見込みないやろ
見通しはすぐ立つけど実行するのがうざいだけの問題
外心Oとして|OA|=|OB|=|OC|=Rの値は正弦定理ですぐ出るしAB,BC,CAわかってるんだから内積も全部出る
そんな教科書理解できてる人間なら誰でもすぐ方針は立つだけの問題誰が解くねん？
前
>>455 >>456 題意に従って図を描いてそうなった。
それがすべてだ。
それがすべてじゃないなんて綺麗には言えないわ。
>>468 貴殿がおっしゃる「実行するのがうざい」を工夫してどう簡略化するかが本問のポイントとなっております。
G を位数が 3 以上の群とする。
G = GL(2, R)
>>456 直角三角形がすべてではないのは作図してみたらわかる。
題意を満たす三角形を４個書いてみた。
>>471 ですので初等幾何を使いましょうと提案しているのです
ベクトルや座標では文字が乱舞して収拾がつかなくなります
これが本問のポイントです
a,bは正の実数とする。
>>476 だからダメなんだよ
何その上から目線？
お前の数学力なんかどう見てもそんな大した事ないやん？
そんな大してまじめに数学勉強した経験もないくせにそうやって上から来るから誰からも相手にされないんだよ
>>478 一般化、根拠のない決めつけ、人格否定ですね
見損ないましたが、初等幾何で解決していただけるならそれで良しとしましょう
そもそも「分からない問題」ではないようなのでスルー
白石と黒石がたくさん入った袋がある。
>>476 >座標では文字が乱舞して収拾がつかなくなります
をあえてやってみた。数値解しかだせてないが。
三角形ABCの座標をA(x,y) B(0,0),C(1,0)として
題意を満たすx,yの関係をグラフ化
>>455 動作確認にその値で作図
>>479 じゃあその初等幾何を駆使して作ったという解答載せて下さい
>>481 >白石と黒石がたくさん入った袋がある。
石の数は白黒で同じという前提ですか？
●○●○○●○○○●○○○○● …
>>484 （補足）
白が出る確率を0.5としてシミュレーションしてみた結果
以下、4桁の10進法の整数Nに対し、pqrsでNの各桁の数字を表すものとする。
位数 4 の群をすべて求めよ。
結合法則が成り立つことをチェックするのがいつも面倒だなと感じているのですが、↑のような確認をスキップするテクニックはありますか？
前
>>469 >>481 題意よりａ1=1
ａ2は当初1/2であるがａ3に白石を置いたとき、白に裏返される黒石がある。つまり3/4になる。
同様にａ3は当初2/4であるがａ4に白石を置いたとき、白石に裏返される黒石がある。つまり5/8になる。
同様にａ4は9/16に、ａ5=17/32
ａ6=33/64
ａ7=65/128
‥‥‥
∴ａn=｛2^(n-1)+1｝/2^n
>>493 一般に、位数 n の群をすべて求める際に、
ある場合に、Cayley Tableはこうでなければならないということまで決定できたとします。
その後、そのCayley Tableによって定義された2項演算「*」が結合法則を満たさないというようなことは起こり得るのでしょうか？
あるのならば、例をあげてください。
>>493 例なんぞ知らん
例が思いつかんからオレの論理は正しい、ガタガタいうなと言う気持ちが1ミリでもあるなら数学やめろ
>>493 G 上に定義した2項演算「*」が閉じていて、 G が単位元を持ち、 G の各元に対して、逆元ももつが、「*」が結合法則を満たさないというようなケースはありますか？
>>496 そんなんやったらいくらでもあるやん？
なんでそんな事聞かんとわからんの？
e^2=x^2=y^2=e
>>501 正四面体を1つの平面で切ったとき、切り口の図形が直角三角形となることはありますか？
>>502 まず
>>479 の初等幾何的な鮮やかな証明を書いてください
話はそれからやろ
>>500 ありがとうございました。
質問を変更します。
G 上に定義した2項演算「*」が閉じていて、 G が単位元を持ち、 G の各元に対して、逆元ももち、left cancellation lawが成り立ち、right cancellation lawが成り立つが、「*」が結合法則を満たさないというようなケースはありますか？
left cancellation lawは、c*a = c*b ⇒ a = b が成り立つことです。
>>504 これが本当に聞きたかった質問だと思います。
今日はあかんな
>>507 やはり、例をあげるのは難しいようですね。
以下の予想をしておきます。
G 上に定義した2項演算「*」に関して、 G が単位元を持ち、 G の各元に対して、逆元をもち、left cancellation lawが成り立ち、right cancellation lawが成り立つならば、 G において結合法則が成り立つ。
>>503 ここは分からない問題を書くスレですね
私は初頭幾何での解法が分からないからこそ書き込みさせていただいたのでございます
ところで正四面体を1つの平面で切った切り口の図形が直角三角形になることはありますか？
>>507 正四面体の問題、よろしくお願いいたします
解法がわからないなら
>>476 のようなレスをするはずがないんだよなぁ
>>508 >以下の予想をしておきます
予想をするのは自由
>>509 >ところで正四面体を1つの平面で切った切り口の図形が直角三角形になる
あるに決まってんじゃん
正三角形の辺の一部を使って頂点は別の辺上にある直角三角形を作って直角を挟む2辺の一方を回転軸にもう一方を含む半直線を回転させるだけ
>>513 それを論証してください
それからあなたの文章は、単語の羅列によりとても読みにくい文章となっています
改善してください
a,b,cは正の実数の定数とする。
8倍精度浮動小数点数(仮数部は236ビット)の最大値：7fff efff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff
f：R→Rとなる狭義凸関数で負の値しかとらないは存在するでしょうか？
>>508 Gは有限集合ね？
> left cancellation lawが成り立ち、right cancellation lawが成り立つ
各行各列が順列になっているってこと
>G が単位元を持ち、
ある元について恒等の行と列があるということ
> G の各元に対して、逆元をもち、
その元の出現する位置が転置に関して対称ということ
結合法則が満たされるべきとは思えないけどなあ
>>517 無いよ
異なる値を取る2点を結ぶ直線を延ばすとx軸と交わるから
>>522 なぜ異なる2点を通る直線がx軸と交わるとf(x)>0となるxが存在するといえるのか？
狭義凸関数という条件はどこで用いていますか？
>>489 1233と8833
おまけ
> f=\(pqrs) (pqrs%/%100)^2+(pqrs%%100)^2 - pqrs
> pqrs=1000:9999
> y=f(pqrs)
> pqrs[y==0]
[1] 1233 8833
> 12^2+33^2
[1] 1233
> 88^2+33^2
[1] 8833
>
>>502 興味が湧いたので作図してみた。
>>489 以下、6桁の10進法の整数Nに対し、pqrstuでNの各桁の数字を表すものとする。
例えば整数N=328901において、p=3,q=2,r=8,s=9,t=0,u=1である。
M=pqrstuと表される4桁の正整数で、(pqr)^2+(stu)^2=Mとなるp,q,r,s,t,uを全て求めよ。
> f=\(x) (x%/%1000)^2+(x%%1000)^2 - x
> x=100000:999999
> y=f(x)
> x[y==0]
[1] 990100
> 990^2+100^2
[1] 990100
>>530 蛇足
9412^2+2353^2 = 94122353
>>529 この手の問題では、まず強い仮定（連続的2階微分な関数、とかね）の下でどうなるかを考えるのが常道。
そこで偽命題なら、余り意味のある問題ではない、ということになるね。
>>517 存在しない（けど真面目に書くのがただただ面倒、自分は結局以下のようにした）
もしそのようなf(x)が存在したとすると
f(x)は定数関数ではないので、f(x1)<f(x2)<0なる2実数が存在する
実数a=/=0,b,c>0に対し関数x->c*f(ax+b)も同じ条件を満たすので
必要なら初めからスケールを取り換えてf(0)=-1<f(1)=-1+d<0であるとして良い(0<d<1)
このときd*f(1/d)+(1-d)f(0)>f(1)より
d*f(1/d)>f(1)-(1-d)f(0)=-1+d-(d-1)=0
f(1/d)>0でfのとり方に反するので最初の仮定が間違っていた
>>502 の発展問題
１辺の長さが１の正四面体を断面が直角三角形になるように平面で切断するとき断面の面積の最大値を求めよ！
皆様にご納得いただける分からない問題をここに書くにはどうしたら良いでしょうか。よろしくお願いいたします。
まぁ別に質問スレとしては機能してないから問題投下したければ好きにすればいいとは思う
確率の求め方について聞きたいです。
xy平面において、y≧x^nとなる正整数nが存在するような点(x,y)が存在するような領域を求めよ。
>>540 「ABC三者の解答が一致し、かつそれが正解である確率」
を「ABC三者の解答が一致する確率」で割れば良い
「ABC三者の解答が一致し、かつそれが正解である確率」は
0.8*0.7*0.6
「ABC三者の解答が一致し、かつそれが不正解である確率」は
不正解のしかたが3通り、それぞれについて
A,B,Cが誤ってそれを選ぶ確率が（間違え方に偏りがないと仮定すると）
((1-0.8)/3)*((1-0.7)/3)*((1-0.6)/3)
だから(3/3^3)*0.2*0.3*0.4=(0.2*0.1*0.4)/3
求める確率は(0.8*0.7*0.6)/(0.8*0.7*0.6+(0.2*0.1*0.4)/3)=約99.2%
>>541 x<-1⇒liminf(x^n)=-∞
-1<=x<=0または1<=x⇒x<=x^n
0<x<1⇒liminf(x^n)=0
だから
「「x<-1かつyが任意」
または「「-1<=x<=0または1<=x」かつx<=y」
または「0<x<1かつ0<y」」であるような(x,y)全体がこたえ
>>542 >(3/3^3)*0.2*0.3*0.4=(0.2*0.1*0.4)/3
/3^2？
>>544 0.3もついでに割ったのです
計算間違えてるかもしれないけど99％なのは感覚的には正しそう
>>541 ∪_n{(x,y)|y≧x^n}=x＜-1∪x＜0&-1≦y∪(0,0)∪x＜1&0＜y∪1≦x≦y
>>542 回答頂き、ありがとうございます。
なるほど、ABCの解答が一致するもので、正解と不正解の割合で求めるということですね。
確率としては、結構高くなっていますが。
>>548 「ABCが3人とも間違えた上に間違え方まで一致」
という状況はほぼ起こらないと感覚的にも納得できるかと思います
nは整数で、1≦n≦10とする。
(1,(1,1))
>>550 とりあえずコード書いて調べたが手計算ではどうやるのか見当がつかない
1:1
2:16
3:169
4:1024
5:12769
6:103684
7:1034289
8:10278436
9:102495376
10:1026753849
n次実正方行列A=(a_ij)は、全てのi,jに対して0≦a_ij≦1で、すべてのiに対してΣ[j=1→n]a_ij=n
>>540 ４問１択なら
> f(4)
[1] 0.992126
３問１択なら
> f(3)
[1] 0.9824561
２問１択（○×試験）なら
> f(2)
[1] 0.9333333
おまけ
f <- function(m=4,p=c(0.8,0.7,0.6)){ # m問1択 p:正答率
prod(p)/(prod(p)+(m-1)*prod((1-p)/(m-1)))
}
>>555 積をΠ()で表すと
m問1択 p:正答率ベクトルで
Π(p)/{ Π(p)+(m-1)*Π((1-p)/(m-1)) }
>>553 (1)
(1111..11)A=(1111..1)
(2) Av = λv、|v|>1、v≠0とする
(1111..1)A^nv = (1111..1)vは有界
(1111..1)A^nv = (1111..1)λ^nvは非有界で矛盾
>>555 ４問１択の１００万回シミュレーション
> m=4
> p=c(0.8,0.7,0.6)
> k=1e6
> ans=NULL
> for(i in 1:length(p)){
+ ans=rbind(ans,sample(m,k,replace=TRUE,prob=c(rep((1-p[i])/(m-1),m-1),p[i]) ))
+ }
> allcorrect=\(x) all(x==4)
> A=sum(apply(ans,2,all4))
> same=\(x) length(unique(x))==1
> S=sum(apply(ans,2,same))
> A/S
[1] 0.991938
理論値の近似値が得られて( ・∀・)ｲｲ!!
>>553 (1)成分1をn個並べた縦ベクトルを(1_n)とすると
A(1_n)=1*(1_n)
(2)Aの任意の固有値aと固有ベクトルvを1つとって固定する
Aのm乗も『全てのi,jに対して0≦a_ij≦1で、すべてのiに対してΣ[j=1→n]a_ij=1』
を満たす（成分の和の単純計算と帰納法で示せる）
よって(A^m)v=(a^m)v
vの第k成分は0でないとし、またvの成分の絶対値の最大値をd>0とおく
左辺のベクトルの第k成分の絶対値はmによらずにd以下である
右辺のベクトルの第k成分の絶対値がmによらずにd以下であるためには|a|≦1でなければならない
>>555 三人寄れば文殊の知恵かと思ったけど
４問１択で正答率が12.5% 25% 50%のときは
> f(4,c(0.125,0.25,0.5))
[1] 0.3
と最高正答率の50%より小さくなるんだな。
松坂和夫著『代数系入門』
数学勉強してる感出したいんやろ
>>563 数学コミュニティとは何ですか？
入会資格でもあるのですか？
低学歴でも入れますか？
>>565 入会資格を教えてください
東大学部生程度では無理でしょうか
テンソル代数と表現論: 線型代数続論 単行本 ? 2022/3/18
入会資格はそういう小学生みたいな発言しない人間であること
>>569 端的に言えば、一般的な社会人であれば入れるということですね？
>>572 数学の勉強をする姿勢があり、議題(ここではスレタイ)にそった建設的な議論ができること
>>573 あなたの意見は分かりました
スレの参加者は全員一致でこの通りで良いでしょうか？
まぁここの常連で建設的な議論なんぞできんやろけどな
>>575 あなたは毎回教科書を開く必要があるのですか？
だとしたら相当かわいそうです…
大学はどこですか？
>>576 やっぱりバカだ
そして自分がバカだという事すらわからない
尿瓶おまる洗浄係はシリツ卒であることが判明してたな。
助言wwwww
前
>>492 >>535 AP=x
AQ=y
PQ=a
QD=b
とおくと、
余弦定理よりa^2=x^2+y^2-xy=(3243-781√7)/32
b^2=1+y^2-y=(37-3√17)/32
a^2+b^2=1+x^2-x
S=xy/2=(y^2-2y^3)/2(1-y)
S'=｛(2y-6y^2)2(1-y)-(y^2-2y^3)(-2)｝/4(1-y)^2=0
4y^2-7y+2=0
y=(7-√17)/8
x=(7√17-25)/4
∴面積の最大値S=ab/2=(159822-38627√17)/2048
>>580 お前のは助言じゃねぇよ甘言だ此のカンニング励行ジジィが
>>585 罵倒厨登場！
>556で一般解、>558でシミュレーション解
どこがカンニングだよ。
俺も、>582の答を知りたいなぁ。
一般解とシミュレーション解と並べて書いてさも同格の意味があるように書きたいんだろ
>>561 >こういう書き方ってどうなんですかね？
いいと思うね
だって同型だし
G を群、 H をその部分群、 a を G の元とする。
>>589 よろしくお願いします。
n番目の素数をp[n]とするとき、p[n]<(2^n)(3^n)を示せ。
G を有限群とする。
>>592 それのどこが分からないのか途中過程を書いた上ではっきりさせてください
n次多項式f(x)で
>528の方が>513より助言検証になっていると思うね。
>>599 高卒の憧れに付き合ってやる気はねーよ能無し
>>599 高卒の憧れに付き合ってやる気はねーよ能無し
>>592 解答がないので、解答を書きます。
S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}}
s ∈ S とする。
U := S ∩ s^{-1} * S
#U = #S + #(s^{-1} * S) - #(S ∪ (s^{-1} * S)) > (3/4) * #G + (3/4) * #G - #G = (1/2) * #G
x ∈ U とする。
x = s_1, x = s^{-1} * s_2 (s_1, s_2 ∈ S) と書ける。
T(s * x) = T(s_2) = (s_2)^{-1} = (s * x)^{-1} = x^{-1} * s^{-1}
T(s * x) = T(s * s_1) = T(s) * T(s_1) = s^{-1} * (s_1)^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x^{-1} * s^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x * s = s * x
∴ x ∈ N(s)
∴ U ⊂ N(s)
(1/2) * #G < #U ≦ #N(s) だから、 N(s) = G
∴ s ∈ S ⇒ s ∈ Z(G)
(3/4) * #G < #S ≦ #Z(G) だから、 Z(G) = G
∴ G はアーベル群
∴ S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}} は G の部分群
(3/4) * #G < #S だｋら、 S = G
訂正します：
>>592 解答がないので、解答を書きます。
S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}}
s ∈ S とする。
U := S ∩ s^{-1} * S
#U = #S + #(s^{-1} * S) - #(S ∪ (s^{-1} * S)) > (3/4) * #G + (3/4) * #G - #G = (1/2) * #G
x ∈ U とする。
x = s_1, x = s^{-1} * s_2 (s_1, s_2 ∈ S) と書ける。
T(s * x) = T(s_2) = (s_2)^{-1} = (s * x)^{-1} = x^{-1} * s^{-1}
T(s * x) = T(s * s_1) = T(s) * T(s_1) = s^{-1} * (s_1)^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x^{-1} * s^{-1} = s^{-1} * x^{-1}
∴ x * s = s * x
∴ x ∈ N(s)
∴ U ⊂ N(s)
(1/2) * #G < #U ≦ #N(s) だから、 N(s) = G
∴ s ∈ S ⇒ s ∈ Z(G)
(3/4) * #G < #S ≦ #Z(G) だから、 Z(G) = G
∴ G はアーベル群
∴ S := {x ∈ G | T(x) = x^{-1}} は G の部分群
(3/4) * #G < #S だから、 S = G
U(x):=T(x^(-1))がG→G^opの準同型
以下の条件を満たす有限群 G を求めよ。
キモいお願いなどせず、シンプルに分からない問題を書いているだけです
0でない実数rに対し、x=x+rを満たす数xを考え、それをε_rとする。
>>604 g := SymmetricGroup(6);
as := AllSubgroups(g);
flag := 0;
for h in as do
if Order(h) mod 4 = 0 then
ag := AutomorphismGroup(h);
for f in ag do
count := 0;
for a in h do
if Image(f, a) = a^-1 then
count := count + 1;
fi;
od;
if 4 * count = 3 * Order(h) then
ans := h;
flag := 1;
break;
fi;
od;
fi;
if flag = 1 then
Print("Found");
break;
fi;
od;
if flag = 0 then
Print("Not Found");
fi;
訂正します：
以下のGAPのコードで例が見つかりました。
>>604 g := SymmetricGroup(4);
as := AllSubgroups(g);
flag := 0;
for h in as do
if Order(h) mod 4 = 0 then
ag := AutomorphismGroup(h);
for f in ag do
count := 0;
for a in h do
if Image(f, a) = a^-1 then
count := count + 1;
fi;
od;
if 4 * count = 3 * Order(h) then
ans := h;
flag := 1;
break;
fi;
od;
fi;
if flag = 1 then
Print("Found");
break;
fi;
od;
if flag = 0 then
Print("Not Found");
fi;
>>604 以下の S_4 の部分群が例になります：
{(), (1 2), (3 4), (1 2) * (3 4), (1 3) * (2 4), (1 4) * (2 3), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
あれ？
あ、合っていますね。
T が恒等写像で、
でも、これがちゃんと群になっているのを確かめるのは結構面倒ですね。
位数8の非可換群なんか2面体群に決まってるやろ
前
>>584 >>535 (159822-38627√17)/2048=0.27285107386……
一辺1の正三角形の面積が、
√3/4=1.7320508……/4
=0.4330127……
1面の面積の6割強。
いい値だと思う。
あってる？
26の問題おねがいします
0〜26の整数の三つ組で3進数表示した時に各桁の取り合わせが000,111,222,012のいずれかになるような組み合わせ
問24の論証が地味にややこしいが有名本なんだろうか
>>623 嘘書いた
訂正
(1) 012なし
3枚とも同じになるので不可
(2) 012一個
どの桁に012が来るかで3通り、他の2桁何ゾロかで9通りで27通り
(3) 012二個
どの桁が012かで3通り、012の順番で6通り、残りが何ゾロかで3通りで54通り
(4) 012三個
9の位が0のものをA,1のものをB,2のものをCとしてよい
Aののこりの2桁の選び方で9通り、3の位を012か021かで2通り、1の位が同じく2通りで36通り
計117通り
>>619 出題した俺にも分からない問題でスマソ。
>>599 母校に誇りはないの？
国立大学（神戸大）卒の人は明言していたなぁ。
>>631 ひたすら（系統的に列挙して）数える
1
shape color thickness
[1,] 円 赤 薄
[2,] 正 赤 薄
[3,] 三 赤 薄
2
shape color thickness
[1,] 円 赤 薄
[2,] 円 青 薄
[3,] 円 緑 薄
3
shape color thickness
[1,] 円 赤 薄
[2,] 正 青 薄
[3,] 三 緑 薄
....
....
116
shape color thickness
[1,] 円 青 濃
[2,] 正 青 濃
[3,] 三 青 濃
117
shape color thickness
[1,] 円 緑 濃
[2,] 正 緑 濃
[3,] 三 緑 濃
>>630 そんな身バレする危険犯す情報書くバカいないよバーカ
国立ww
そんなもんが自慢になるかバーカ
頂点の一つを原点
>>635 >0<((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)<1
0<1/((b/2)(1+b/2)-sb√3/2)<1/((b/2)(1+b/2)+s^2)
(b/2)(1+b/2)+s^2<(b/2)(1+b/2)-sb√3/2
s^2+sb√3/2<0
NG
>>633 判定関数を作って27C3通りから選ばせるだけなので
文字通り朝飯前に完成。
漢字入力が面倒ではあったが題意に沿った表示の方がわかりやすいと思った。理論解の検算になって( ・∀・)ｲｲ!!
>>634 国立卒の人は割と簡単に卒業大学を言うけどね。
>>635 >(a,-b/2,s)が直角三角形の直角の頂点
>(a,(1-t)b-tb/2,-tb√3/2)がもう1つの頂点とすると
(a,(1-t)b-tb/2,tb√3/2)がもう1つの頂点とすると
(a,-b/2,s)(0,(1-t)(1+b/2),tb√3/2-s)=0
-(b/2)(1-t)(1+b/2)+s(tb√3/-s)=0
t=((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)
4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)b√3/2+s)^2)
の
0<s<b√3/2かつ0<((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)<1
より
0<s<b√3/2
そしていつものように誰の役にも立たんクソレス貼り付けてまじめに数学議論してるレスを流してしまって迷惑かける
>>640 >582に答えてあげればいいだけじゃん。
>599-600みたいなレスじゃなくて。
>>642 からの自演wwww
能無しwwwwww
b=2/√3で考えると
>>639 >4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)b√3/2+s)^2)
4S^2=(a^2+(b/2)^2+s^2)((1-((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2))^2(1+b/2)^2+(((b/2)(1+b/2)+s^2)/((b/2)(1+b/2)+sb√3/2)b√3/2-s)^2)
b=2/√3で考えると
0<s<1において
4S^2=(a^2+1/3+s^2)((1-(1/3+1/√3+s^2)/(1/3+1/√3+s))^2(1+1/√3)^2+((1/3+1/√3+s^2)/(1/3+1/√3+s)+s)^2)
=(a^2+1/3+s^2)((1-(1+√3+3s^2)/(1+√3+3s))^2(1+√3)^2/3+((1+√3+3s^2)/(1+√3+3s)-s)^2)
=(a^2+1/3+s^2)((3s-3s^2)^2/(1+√3+3s)^2(1+√3)^2/3+(1+√3)^2(1-s)^2/(1+√3+3s)^2)
4S^2/(1+√3)^2=(a^2+1/3+s^2)(3(s-s^2)^2+(1-s)^2)/(1+√3+3s)^2
=(a^2+1/3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
の最大値
>>645 >(a^2+1/3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
b=√3/2のときa=√(8/3)
4S^2/(1+√3)^2=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
>>646 >4S^2/(1+√3)^2=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2/(1+√3+3s)^2
(4S^2/(1+√3)^2)'=0
((3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2)'(1+√3+3s)^2=(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2((1+√3+3s)^2)'
(2s(3s^2+1)(1-s)^2+(3+s^2)6s(1-s)^2-2(3+s^2)(3s^2+1)(1-s))(1+√3+3s)^2=6(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)^2(1+√3+3s)
((10+6s^2)s(1-s)-(3+s^2)(3s^2+1))(1+√3+3s)=3(3+s^2)(3s^2+1)(1-s)
>>620 (1) 3枚のカードの形が相異なり、3枚のカードの色が相異なり、3枚のカードの濃さが相異なる場合：
(3!)^3 / 3! = 36 通り。
(2) 3枚のカードの形、色、濃さの3属性のうち2属性が3枚のカードで相異なり、残りの1属性が3枚とも同じ場合：
3 * [(3!)^2/3!] * 3 = 54 通り。
(3) 3枚のカードの形、色、濃さの3属性のうち1属性が3枚のカードで相異なり、残りの2属性が3枚とも同じ場合：
3 * [3!/3!] * 3 * 3 = 27 通り。
∴答え = 36 + 54 + 27 = 117 通り。
>>647 0<s<1で(4S^2/(1+√3)^2)'<0
s=0で最大なので最大値は存在しない
（最小値は元々存在しない）
前
>>619 >>629 いい問題だったよ。
微分しかないと思った。
0.272851……いい値だよ。
Rが最大Dまで取れるからあってると思う。
√3/4が0.4330127……
直角三角形を最大にしたら一面の六七割だろう。
>>643 >582に答えてあげればいいだけじゃん。
>>655 聞かれたから答えただけだよ
で？
次はどうするね？能無しさん？
この宇宙にはどこ探してもお前が存在する意味ないよ役立たずく君ww
3次実正方行列Xと実数の定数tに対し、
>>656 答えになっていません
証拠を提示しなさい
私も東大ですがあなたのような者が卒業生にいることが恥ずかしくなってしまいます
四面体の4頂点を
>>659 解けたら認めてあげます
3次実正方行列Xと実数の定数tに対し、
det(tE-X)=t^3-f(X)t^2+g(x)t-h(X)
とおいて、関数f,g,hを定める。f,g,hを求めよ。
必要であれば、行列Xから第i行と第j列を取り除いてできる2次正方行列をX(i,j)として表し、用いよ。
これを解いてもいいですよ
>>660 >=-4(3-5s+10s^2+2s^3+3s^4+3s^5)/(3+s^2)(3s^2+1)(1-s^2)<0
10s^2-5s+3=10(s-1/4)^2+19/8
舐めとんのか不勉強
G を位数 2*n の群とする。
>>666 シローの定理などは使ってはいけないという制約があります。
>>665 何を言っても
>>661-662 でお前の学力はみんなに知れ渡ったわ恥ずかしいww
能無し〜
>>665 じゃあ東大卒さんこれやってよ
任意の非可換有限群は非可換可解部分群を持つ事を示せ
群論の有名な定理2発で示せるけどできますか〜wwww
>>668 素数の方だけでいいので解いてくださいよ
意外と難しいですよ？特にあなたのような低学歴には手に負えないでしょう
>>670 まさかの自作のクズ問の方選択wwwww
アホ〜wewwwww
>>670 p[n]≦2^nで十分
n=1は自明
n=kで正しいとしてチェビシェフの定理によりp[k+1]≦2p[k]≦2^(k+1)
で？
>>669 はできたかねwwwww
前
>>650 訂正。
>>535 AP=x
AQ=y
PQ=a
QD=b(RとDが一致するとき直角三角形PQRは最大)
とおくと余弦定理より、
a^2=x^2+y^2-2xycos60°=x^2+y^2-xy ————(1)
b^2=y^2+1-2y・1・cos60°=1-y+y^2 ————(2)
a^2+b^2=1+x^2-2・1・xcos60°=1-x+x^2————(3)
(1)(2)を(3)に代入すると、
x^2+y^2-xy+1-y+y^2=1-x+x^2
2y^2-xy+x-y=0
x(1-y)=y-2y^2
x=(y-2y^2)/(1-y)
S=xy/2=(y^2-2y^3)/2(1-y)
S'=｛(2y-6y^2)2(1-y)-(y^2-2y^3)(-2)｝/4(1-y)^2=0
2y-6y^2-2y^2+6y^3+y^2-2y^3=0
4y^3-7y^2+2y=0
4y^2-7y+2=0
y=(7-√17)/8=0.35……
(2)に代入し、
b^2=1-(7-√17)/8+(49+17-2√17)/64
=｛(4√17-24)+(33-√17)｝/32
b=(9+3√17)/32
y-2y^2=(7-√17)/8-2(49+17-14√17)/64
=(7-√17)/8-(33-7√17)/16
=(5√17-17)/16
1-y=(1+√17)/8
x=(5√17-17)/2(1+√17)
=(5√17-17)(√17-1)/32
=(102-22√17)/32
=(51-11√17)/16
(1)に代入し、
a^2=x^2+y^2-xy
=(51-11√17)^2/256+(33-√17)/32-(51-11√17)(7-√17)/16・8
=(2601+1210+847-1122√17)/256+(33-√17)/32-(357+187-128√17)/128
=(4658-1122√17)/256+(33-√17)/32-(444-128√17)/128
=(2329-561√17+132-4√17-444+128√17)/128
=(2461-444-565√17+128√17)/128
=(2017-437√17)/128
a=√(4034-874√17)/16
∴面積の最大値S=ab/2
=(9+3√17)√(4034-874√17)/(64・16)
=(9+3√17)√(4034-874√17)/1024
=0.43294196213……
おかしいな、もっと小さいよね。一面の面積とほぼ同じわけないなぁ。やり方はあってる。計算力と根気が足りない。ライプニッツとニュートンが発明した微分の恩恵を受けて解くべき良問だよ。
>>654 東大医学部図書館の地下一階には何があったか即答してみ。
>>673 乱数発生させて最大値を探していったら、
こういう結果になった。
>660が正解であることが体感できた。
v
>>674 こいつ尿瓶じゃなかったのかwwww
まさかの尿瓶派wwwwwwwwww
前
>>675 訂正。
>>535 ∠PQR=90°とすると、
直角三角形PQRの面積が最大となるのは、
RがDと一致するときで、
PはAと一致するから、
∠QDA=30°、∠DAQ=60°
QはACの中点。
∴直角三角形PQRの最大値は、
(AQ・QD)/2=(1/2)(√3/2)/2
=√3/8
=1.7320508……/8
=0.21650635……
>>620 集合{1,a,a^2}の中から、重複を許して3つを選び、積を考える。すると、
同じものを選ぶ場合：1,a^3,a^6
全て異なる場合、：a^3
その他：a,a^2,a^4,a^5
となるが、aを、a^3=1を満たす非実数解とすると、
全て同じか、全て異なる場合：1 (実数)
その他：a,a^2 （非実数）
これを利用すれば、a,b,cを、a^3=b^3=c^3=1 という性質を持つ、非実数とし、
f=(1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)
を展開した時に現れる27個の項一つ一つと、27枚のカード一つ一つを対応させることができ、
f^3 を展開したときに現れる定数値を、「相補的な組」に直結させることができる。
ただ、問題では、同じカードを複数使用することは許されていないので、
その分の補正と、順番の入れ替えによって一致する組み合わせを考慮しなければならない。
すると (f^3を展開した時の定数-27)/3!=(9^3-27)/6=(729-27)/6=117 として答えを出すこともできる。
(∵(1+a+a^2)^3=1+3a+6a^2+7a^3+6a^4+3a^5+a^6=9+9a+9a^2)
>>678 断面と呼べるかは議論の余地があるけど
問題としては面白かったと思う。
1枚目と2枚目のカードを選んだ時、各桁が相補的になる3枚目のカードがちょうど1枚決まる
前
>>678 >>535 ライプニッツとニュートンがせっかく微分発明したのに、ぜんぜん使えない問題で残念。
白石と黒石を1列に並ぶように1個ずつ置いていく。はじめ1個の白石が置かれており、その右側に順々に石を置く。どちらの石を置くかは確率1/2で対等とする。
袋の中に赤玉と青玉が入っており、一方はn個、他方は2n個入っていることが分かっている。
前
>>683 >>685 赤2n個、青n個の袋から赤k個をとり出す確率は、
(2nＣk)/(3nＣk)=｛2n!/(2n-k)!k!｝/｛3n!/(3n-k)!k!｝
=2n!(3n-k)!/3n!(2n-k)!
前
>>686 括弧訂正。
>>685 赤2n個、青n個の袋から赤k個をとり出す確率は、
(2nＣk)/(3nＣk)=[2n!/｛(2n-k)!k!｝]/[3n!/｛(3n-k)!k!｝]
=｛2n!(3n-k)!｝/｛3n!(2n-k)!｝
>>685 袋の中に赤玉が2n個入っている確率の事前確率をどうするかで答が変動するんじゃないの？
玉が入った袋が2袋ある。
>>689 それって、あなたが「分からない問題」なの？
どういう文脈でその問題に遭遇したの？
>>690 帝京平成大学在学中なので分かりません
問題は興味があった題材です
中が見えない袋からボールを取り出して推測するにはどうしたらいいか考えました
n個の点のうちいくつかが線分で結ばれている。1点からのびる線分は最大k本で、任意の2点は線分を何本か渡り歩くことで行き来できる。
>>689 p:袋の中に赤玉が2n個入っている確率の事前確率
p*choose(2*n,k)/(p*choose(2*n,k)+(1-p)*choose(n,k))
>>689 大学生向きの応用問題
玉が入った袋が2袋ある。
いずれの袋も中に赤玉と青玉が入っているが、一方の袋には赤玉r1個と青玉b1個、他方の袋には赤玉r2個と青玉b2個が入っており、2つの袋は外からでは見分けがつかない。
いま1つの袋を確率pで選び、その袋から同時にk個(1≦k≦min(r1,r2)の玉を取り出す。
取り出した玉がすべて赤色であったとき、袋の中に赤玉がr1個入っている確率Qを求めたい。
r1=90
b1=10
r2=50
b2=50
k=5
p:一様分布
のときのQの期待値を求めよ。
>>683 最大値でなくて上界を求めよなら答があったんだな。
齋藤正彦著『はじめての群論』
Binomial(2*n, k) / (Binomial(n, k) + Binomial(2*n, k))
aを正の実数とする。
>>701 >ベイズ確率
ベイズ統計なら知ってるけど
ベイズ確率とは？
微分の定義とか書いてる時点でもう次は読んで貰えない
xy平面上のグラフC:y=a^xのx=0における接線の傾きが1となるような正の実数aを考える。aは
>>700 >693でp=0.5 chooseをBinomialに置き換えれば>699になる。
x→∞でまだ性質がよく知られていない値に収束する極限を教えて下さい
袋から玉を取り出す系の確率の問題で興味深いものを教えて下さい
m(√2)+neが無理数となる正整数の組(m,n)が少なくとも1組存在することを示せ。
>>710 urn problemで検索したらアホほど出てくる
この解答で良いか教えて下さい
>>711 ある正整数の組(m,n)に対して、
i)m(√2)+neが無理数の場合
この(m,n)が題意を満たす
ii)m(√2)+neが有理数の場合
{m(√2)+ne}+e
=m(√2)+(n+1)e
は無理数。
松坂和夫著『現代数学序説』
>>714 これは証明を書かず、命題1と同様に明らかであるで済ませるべきですよね。
フェアじゃありませんよね？
rを実数とし、
y=[x]/4 + x/4 + 5/6のグラフとy=xのグラフをじっとよく見る
{a_n} が収束することはすぐに分かります。
f(x):=[x]/4 + x/4 + 5/6
訂正
>>719 {a_n} が収束することはすぐに分かります。
f(x) = [x]/4 + x/4 + 5/6
とします。
f(x) = x を解くことを考えます。
f(x) - x = 0 の解があったとし、それを x_0 とします。
すると、
x_0 - [x_0]/4 - x_0/4 - 5/6 = 0
[x_0] = 3*x_0 - 10/3
が成り立ちます。
x_0 - 1 < [x_0] ≦ x_0
ですので、
x_0 - 1 < 3*x_0 - 10/3 ≦ x_0
が成り立ちます。
この不等式を解くと、
7/6 < x_0 ≦ 5/3
となります。
よって、 [x_0] = 1 です。
1 = [x_0] = 3*x_0 - 10/3
より、
x_0 = 13/9
でなければならないということが分かりました。
これは実際に、
f(x) - x = 0
の解です。
x < 7/6 のとき、
以上をまとめると、
ガウス記号の定義により、
コイツは他人の書いた教科書はボロクソ言うくせに自分で証明書いたらこの体たらく
数学童貞です
>>730 M=50 # 当たりの総数
N=50 # 外れの総数
f=function(x,y,a=0.5){ # x:箱Aの当たりの数 y:箱Aの外れの数 a:箱Aが選ばれる確率=0.5
if(x+y==M+N) return(a*M/(M+N))
if(x+y==0) return((1-a)*M/(M+N))
else return(a*x/(x+y)+(1-a)*(M-x)/(M-x+N-y))
}
として
x=0,1,2,...,50
y=0,1,2,,...50
で最大となるx,yを求めれば(・∀・)ｲｲ!!
x=1,y=0
x=49,y=50
のときに最大値74/99となる。
>>728 補助数列使うなって言ってるだろうがw
低学歴は消えろ
>>720 |f(2)-f(13/9)| = 7/18 > 35/162 = (7/18) * |2 - 13/9|
ですね。
>>720 f(x) := [x]/4 + x/4 + 5/6
|f(x) - f(13/9)| ≦ (13/16) * |x - 13/9|
ですね。
>>735 計算してみました。
>>731 おまけ
x:箱Aの当たりの数 y:箱Aの外れの数
z：当たり玉を引く確率
をグラフにすると
前
>>700 前々
>>687 >>730 Aに当たり玉n個入れて、
Bに当たり玉(50-n)個入れると、
A,Bをそれぞれ1/2の確率で選ぶから、
(1/2)(n/50)+(1/2)｛(50-n)/50｝=n/100+(50-n)/100
=50/100
=1/2
∴任意のnについて当たり玉をとる確率は1/2
同様にm個のはずれ玉で任意のmについてはずれ玉をとる確率は1/2
あってるようなあってないような。
でも直感的に当たり玉はずれ玉半々なら入れ方によらず当たり玉をとる確率は1/2
罵倒投稿が多い中、>732のようなレスは清々しい。
>>720 >>735 グラフを描いてみました。
完璧ですね。
理想的なコンパスと定規だけで
>>743 (フリなのかな…)
円を２つ重ねてくるんすればいいよね？
中心点と円周に接点作って。
で中心点同士を真っ直ぐ定規で通過する線を引いて２つのえんの円周率同士を通過する２点を通過する線を引いて
円周上の点とその円の中心点まで直線を引けば中心点同士を通過する線と円周上からその円の中心点に向かう線の角度は直角では？
あ ほ く さ
手持ち資金が足りません
1. A_5 は単純群であることを示せ。
尿瓶とは尿瓶おまる洗浄係の扱う容器である。
y={1-e^(-x)}{e^(-x)cos(x)+sin(x)}
松坂和夫著『代数系入門』
σ に関する推移類への分解は一意的だから。
あれだけの能無しっぷりを曝け出したアホの吐いていいセリフじゃないな
>>754 今年の東京大学入試問題第1問候補です
よろしくお願いいたします
n ≧ 5 のとき、 S_n の正規部分群は、 S_n, A_n, {e} の3つであることを証明せよ。
>>760 解けました。
ですが、 A_n が単純群であることを使わないで解くにはどうすればいいでしょうか？
An(n≧5)が単純群証明すりゃいいのでは？
2乗するとちょうどn桁になる正整数の個数をf(n)とおく。
指数関数グラフ：y=10^(x/2)の凸性より明にしてらか。
>>762 A_n が単純群であることを使わない非常に簡単な証明が載っているpdfファイルがありました。
n ≧ 3 のとき、 A_n は3サイクルによって生成される。
n ≧ 5 のとき、 A_n は(2, 2)タイプの置換によって生成される。
N を A_n の {()} ではない正規部分群とすると、 N は 3サイクルまたは(2,2)タイプの置換を少なくとも1つは含む。
以上から、 A_n ⊂ N であることがわかる。
A_n は S_n に真に含まれる位数が最大の部分群（実は S_n に真に含まれる最大の部分群は A_n 一つだけである）だから、
N = A_n または N = S_n が成り立たなければならない。
>>767 アホか
N を A_n の {()} ではない正規部分群とすると、 N は 3サイクルまたは(2,2)タイプの置換を少なくとも1つは含む
こんなん証明抜きに認められるわけないやろ？
なんで自分の証明考えてるときはそこまで甘々やねん
アホか
>>768 >>767 はネット上のpdfファイルの要約です。
n ≧ 5 のとき、 S_n の正規部分群は、 S_n, A_n, {e} の3つであることを証明せよ。
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/Ansimple.pdf このpdfファイルに A_n が単純群であることを使わない非常に簡単な証明が書いてあります。
>>769 だからそんな証明通用しとらんと言ってんだよ
アホ
なんで分からんの？
書いてる最中に「ホンマか」って常にチェックするくせがつけられてないんだよ
こんなハッキリ通用しない証明が見分けられん人間がよく教科書のダメ出しなんかできるな？
自分の能無し具合がやるで理解できとらん
>>770 には詳細に証明が書いてあります。
その結果の要約が
>>767 です。
要約って
>>773 n≠0とする。
x+n=xを満たす数xを「n数」と呼ぶ。
n数は複素数でないことを示し、また相異なる3つのj,k,lに対してj数、k数、l数を考えるときそれらの直交性について論ぜよ。
部分積分みたいなのですが、途中計算が無く分かりません。
くわしい途中計算をおしえてください。よろしくお願い致します。
赤い所がどうしてそうなりたのか分かりません。
先週に続き、確率の求め方について聞きたいです。
前
>>761 >>778 べん図を描けばわかると思うけど2回被りを引かないかんな。
前
>>779 >>778 A∩B=8×7=56(%)
B∩C=7×6=42(%)
C∩A=6×8=48(%)
A∩B∩C=56×0.6=33.6(%)
A∩B∩~C=56×0.4=22.4(%)
B∩C∩~A=42×0.2=8.4(%)
C∩A∩~B=48×0.3=14.4(%)
求める確率は、
A∩B∩~C+A∩B∩C+B∩C∩~A+C∩A∩~B
=22.4+33.6+8.4+14.4
=78.8(%)
2つの閉領域DとEがあり、Dの面積は1である。
>>780 回答頂き、ありがとうございます。
なるほど、ベン図を描いて、求めるということですね。
78,8%だと、まあAさんの正解率の80%より、落ちるということですね。
f(x)をn次多項式(n≧1)とする。
代数学の基本定理よりf(a)=√(-1)となる複素数aが存在する
間違えた。
1.1^9 >1 + 9×0.1 + 36×0.01 = 2.26 > 2
齋藤正彦著『はじめての群論』
任意の実数x,yについて
>>790 ありがとうございます、ということはf(x)=axの形で表されるものが全てでしょうか。
>>791 いいえ
条件はf:R→RがQベクトル空間としての線形写像である事と同値
そんなもん無限次元個ある
f(x)が微分可能な連続関数だとすれば、
>>780 それって、2人以上が同じ回答をする確率じゃないの？
>>778 100万回のシミュレーションでは
> sim <- function(a=0.8,b=0.7,c=0.6,m=4){
+ A=sample(1:m,1,prob=c(a,rep((1-a)/(m-1),m-1)))
+ B=sample(1:m,1,prob=c(b,rep((1-b)/(m-1),m-1)))
+ C=sample(1:m,1,prob=c(c,rep((1-c)/(m-1),m-1)))
+ c(A,B,C)
+ }
> f <- function(x){
+ if(length(unique(x))==3) return(0)
+ else as.numeric(names(which.max(table(x))))
+ }
> answers=t(replicate(1e6,sim()))
> re=apply(answers,1,f)
> mean(re[re>0]==1)
[1] 0.9065208
という結果になった。
>>782 なんで誤った回答にお礼するわけ？
お人好し？
>>782 直感的にはBもCも正解率が５０％を超えているので多数決をとるとAの正解率より向上すると思う。
>>799 正答を助言するわけでもなく罵倒しかできない人間が多いよね。
典型が医師板を荒らしている尿瓶おまる洗浄係。
a=0.8
齋藤正彦著『はじめての群論』
任意の実数x,yに対して
x=y=0でf(0)=0
>>805 最初から x=任意 y=0 で良くないか？
大学以降の数学じゃ通用しない
△ABCの垂心をH、∠APB=120°となる点P全体からなる領域（軌跡）をKとする。
（1）どの桁の数字も1,2,5のいずれかであるような平方数が無数に存在することを示せ。
齋藤正彦著『はじめての群論』
訂正します：
A = {{a, b}, {c, d}} とします。
10^m+nが平方数となるような正整数mと平方数nの組(m,n)は存在するか。
>>820 訂正の訂正：「平方数n」→「1以上の平方数n」
10^2+24^2=26^2
>>822 すごいです
どうやって見つけたか教えてください
>>819 無数に存在する
m≧2で
10^m =50×2×10^m/100
k=10^m/100+25, l=10^m/100 -25とすれば
10^m =(k-l)(k+l)= k^2 - l^2
n=l^2とおけば
10^m+n= k^2
>>823 隣り合う平方数の差は奇数だから
連続する奇数の和が10^mになればいい
49,51
499,501
4999,5001
のように
任意の正整数 n に対して、10^n = a^2 + b^2 を満たす 10で割り切れない正整数 a, b (a>b) がただひと組あることを示せ
>>823 ,825
m≧2では、4kが10^mの約数となる整数kが必ず存在する。
l=10^m/(4k) とおけば、
10^m=4kl={(l+k) -(l-k)}{(l+k)+(l-k)}=(l+k)^2 -(l-k)^2
n=(l-k)^2とおけば、
10^m + n = (l+k)^2
k=1としたのが
>>822 k=25としたのが
>>824 10^n = ( a + bi )( a - bi )
>>778 各人の正解率はそのままで設問がn者択一のとき
多数決解が正解である確率p
n p
1 2 0.7880000
2 3 0.8755556
3 4 0.9106317
4 5 0.9300130
5 6 0.9424034
6 7 0.9510345
7 8 0.9574014
8 9 0.9622958
9 10 0.9661774
G を群とする。
確率の問題で質問です。
>>831 １００万回のシミュレーションでの頻度を出してみた
> sim=\(
+ p=0.25,
+ n1000=1000,
+ n15=15,
+ n3=3
+ ){
+ re=rle(rbinom(n1000,1,p))
+ sum(re$lengths[re$values==0]==n15)>=n3
+ }
> mean(replicate(1e6,sim()))
[1] 0.04953
>>830 帰納法により証明する。
n = 0 のときは明らかに成り立つ。
n-1 のときに成り立つと仮定する。
コーシーの定理により、 Z(G) には位数 p の元が存在する。
<a> ⊂ Z(G) だから、 <a> は G の正規部分群である。
#(G/<a>) = p^{n-1} である。
帰納法の仮定により、 G/<a> はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
f : G → G/<a> を自然な全射準同型とする。
H を G/<a> の位数 i ∈ {0, 1, …, n-1} の部分群とする。
f^{-1}(H) は G の部分群である。
f の f^{-1}(H) への制限を g とする。
g : f^{-1}(H) → H は全射準同型である。
f^{-1}(H)/(Ker(g)) は H と同型である。
#(f^{-1}(H)/(Ker(g))) = #H
#f^{-1}(H) / #Ker(g) = #H
#f^{-1}(H) = #Ker(g) * #H = p * #H = p^{i+1}
よって、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n-1} に対して、位数が p^{i+1} であるような部分群を持つ。
すなわち、 G はすべての i ∈ {1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
G は 単位群 {e} を含むから、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つ。
>>831 なんかパチンコ台で出てきそうな状況だな。
大当たり確率1/100のパチンコ台を１日中打って、
5000回スタートチャッカーを回したが、1000回
ハマりを3回くらったけどその確率は？みたいなｗ
>>833 読んでみたけど馬鹿な自分では理解できなかった・・・
やはり簡単な式で表すのは無理なのね
前
>>780 もうね、でっち上げだよ、確率は。
>>831 確率=｛(3/4)^15×3×957×956｝/(958×958)
=(3^16×957×956)/(4^15×958^2)
=0.03996492639……
∴4%弱
N種類の商品をM個入れた詰め合わせを作る。このとき、どの2つの詰め合わせを見てもK個以上のダブリが無いようにしたい。
東京大学 理科一類、理科二類、理科三類の問題・解答 数学(前期)
http://www.toshin.com/sokuho/univ.php?univname=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6& ;gakubuname=%E7%90%86%E7%A7%91%E4%B8%80%E9%A1%9E%E3%80%81%E7%90%86%E7%A7%91%E4%BA%8C%E9%A1%9E%E3%80%81%E7%90%86%E7%A7%91%E4%B8%89%E9%A1%9E&kamokuname=%E6%95%B0%E5%AD%A6
前
>>839 訂正。
>>831 確率=(3/4)^15(957/958)+(3/4)^15(956/958)+(3/4)^15(955/958)
=0.04000668703……
∴4%強
じつに微妙だ。違うかなぁ。
>>833 高校数学のスレタイも読めないアホは引っ込んでろ
前
>>842 訂正。
>>831 確率=(3/4)^15(985/986)+(3/4)^15(970/972)+(3/4)^15(955/958)
=0.04000748499……
∴4%強
前
>>844 >>831 確率=(3/4)^15×3
=0.04009038303……
∴4%強
シンプルにこれでいいかも。
>>840 (2)のルールでaが3つ入るのが2袋も禁止なん？
{aaabc}と{aaade}は禁止？
つまりK個以上とはダブりアリのk個も禁止？
例えば
{aabcd}と{aabfg}は{aab}を「同じ3個以上のダブり」があると見做すん？
>>846 そうです、K=3なら3個以上が共通になってる詰め合わせの組があったらダメです（(1)も(2)も同じ）
その例は両方とも禁止です
ダメだ
>>840 (1)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] a b c d e
[2,] a b f g h
[3,] a c f i j
[4,] b d g i j
[5,] c e g h i
[6,] d e f h j
>>840 (2)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] a b c d e
[2,] a b f g h
[3,] a c f i j
[4,] b d g i j
[5,] c e g h i
[6,] d e f h j
[7,] a a a a a
[8,] b b b b b
[9,] c c c c c
[10,] d d d d d
[11,] e e e e e
[12,] f f f f f
[13,] g g g g g
[14,] h h h h h
[15,] i i i i i
[16,] j j j j j
>>839 確率はあなたの心の中にあります。
卑近な例では安倍晋三が仮病の確率。
>>851 それ面白いと思ってる？
そのズレっぶり高校数学を読めないだけはあるね
>>840 列挙するプログラム完成（正しいかどうかは知らんｗ）
(N,M,K)=(15，7，4）の場合
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] a b c d e f g
[2,] a b c h i j k
[3,] a b c l m n o
[4,] a d e h i l m
[5,] a d e j k n o
[6,] a f g h i n o
[7,] a f g j k l m
[8,] b d f h j l n
[9,] b d f i k m o
[10,] b e g h j m o
[11,] b e g i k l n
[12,] c d g h k l o
[13,] c d g i j m n
[14,] c e f h k m n
[15,] c e f i j l o
>>852 こういうのが面白いと思えないからシリツなんじゃねぇの？
>>855 そういうのが痛いって分からねぇから尿瓶なんじゃねぇの？
確率の問題は乱数発生させてシミュレーションできるけど
>>849 ７つ目があるかをしらみつぶしにあたったけど７つ目はないようなので６組でいいんじゃないかな。
>>857 はい、尿瓶w
もう何も言い返せないのか？あ？
ありがとうございます。
自分でも少し考えました。
(1)で(N,M,K)=(10,5,3)の場合だと、ある商品aを含む詰め合わせは3つまでしか作れません(abcde,abfgh,acfij)
どの商品もそうなので、商品を使えるのは全部で10×3の30回まで、詰め合わせにすると÷5の6組が上限です。
>>849 で実際に6組作れているので、この場合についてはこれが答えだと思います。（自力ではこの組み合わせ見つけられなかった…）
この議論を進めると、(N,M,K)について特定の商品を含む詰め合わせ数の上限Aがわかれば、
N×A÷Mの余り切り捨てが(N,M,K)で作れる詰め合わせ数の上限ということになります。
ここでAは何かということを考えると、特定の商品を除いたN-1個の商品から、M-1個の詰め合わせを、K-1個以上のダブリがないように作れる数ですから
すなわち今考えている問題の(N-1,M-1,K-1)での解に他なりません。
つまり、この問題の答えをS(N,M,K)と書くとすると、以下が成り立ちます。
S(N,M,K)≦[S(N-1,M-1,K-1)×N÷M]
という漸化式が出来て喜んでたんですが、(10,5,3)に適用してみると
S(10,5,3)≦[S(9,4,2)×2]≦[[S(8,3,1)×9/4]×2]≦[[[8/3]×9/4]×2]=8
（※S(N,M,1)は要するに商品が1個ずつしか使えないということなので[N/M]）
なのでこれだけじゃまだ上限が高いし、この方針だとどこまで行っても不等号が外せないんですよね…
ここで行き詰まりました。
なにか虱潰し以外の解放がありそうな気はするんですが…
組み合わせ論のtデザインとかいう話で似たような話が出てくるけどあっちでも実際の最大値出すのは論文レベルなんだからこっちも無理やろ
確か以前興味本位にチラ読みした事あるけど大概
>>861 シリツでないと言えないからシリツなんだろ。
どこの国立落ちたの？
>>865 アンタは受験資格すらなかったんじゃねぇの？
こんなとこで意味不明なことを発狂し続けてる頭イカれたやつに数学なんかできるわけないもんねぇw
>>866 >849で出した具体的な組み合わせでいいようで気分が( ・∀・)ｲｲ!!
計算機マターなので計算機を使った。
>>867 そんなのアンタの脳内にしかないだろうが
寝言も大概にしろw
高校数学の文字も理解できない分際で数学()とか笑わせるねw
>>870 アンタの脳内しかない妄言だよそれは
他人に全く通じないし相手にされてないんだから
脳内医者は図星だから発狂してんだろ？まるで病識ないんじゃつける薬もないなw
>>859 を見てるとどうせまたいつもの勘違いしてるあてにならん計算やろ
こいつの知能では手に負えんやろ
座標平面上の双曲線C:y=1/xに対し、Cとx<0および0<xの領域で交わる直線を考える。そのx<0における交点をP、0<xにおける交点をQとし、PQの中点をMとする。
以下の東大理系第2問（2）の着想の仕方を教えてください（（1）は実験、（3）はただのおまけなのでここでは省略します）
>>875 （1）は「nが3の倍数のときa[n]は5の倍数であることを示せ」です
この結果から、どうして（2）の初手である「正の整数n,lに対してa[n+l]≡a[l]（mod a[n]）を示す」に繋がるのかが分かりません
空気読んだんやろ
そうですね
今でも計算機が出来ない賢い計算なんてものが存在するのか
＞今でもMathematicaで処理できない式がここにのっていますので、今でも最強です。
https://twitter.com/takeokato719/status/1497575330319835138 https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
>>850 17個めを、重複を許す組み合わせ2002個から探索してみたが、17個めはなし。
(N,M,K)=(10,5,3)で
(2)詰め合わせに同じ商品を入れてもよいなら、16組でよさそう。
>>841 >>874 第2問
(1)
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 5 ≡ 0 (mod 5)
a_4 ≡ 0^2 + 1 = 1 (mod 5)
a_5 ≡ 1^2 + 1 = 2 (mod 5)
a_6 ≡ 2^2 + 1 = 5 ≡ 0 (mod 5)
よって、明らかに、 3 | n ⇒ 5 | a_n
>>841 >>874 第2問
(2)
a_n は単調増加数列である。
よって、
1 ≦ m < k のとき、
a_m ≡ 0 (mod a_k) は成り立たない。
明らかに、
a_k ≡ 0 (mod a_k)
である。
a_{k+1} = a_{k}^2 + 1 ≡ 0^2 + 1 = 1 = a_1 (mod a_k)
a_{k+2} = a_{k+1}^2 + 1 ≡ a_{1}^2 + 1 = a_2 (mod a_k)
a_{k+3} = a_{k+2}^2 + 1 ≡ a_{2}^2 + 1 = a_3 (mod a_k)
…
a_{k+k} = a_{k+(k-1)}^2 + 1 ≡ a_{k-1}^2 + 1 = a_k ≡ 0 (mod a_k)
よって、明らかに、 k | n ⇔ a_k | a_n
>>841 >>874 第2問
(3)
8091 = 4 * 2022 + 3
a_8088 = a_{4 * 2022} ≡ 0 (mod a_2022)
a_8089 = a_{8088}^2 + 1 ≡ 1 (mod a_2022)
a_8090 = a_{8089}^2 + 1 ≡ 2 (mod a_2022)
a_8091 = a_{8090}^2 + 1 ≡ 5 (mod a_2022)
よって、
(a_8091)^2 ≡ 5^2 = 25 (mod a_2022)
(a_8091)^2 = q_1 * a_2022 + 25
a_2022 = q_2 * 25 + r_2
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 5
a_4 = 26 ≡ 1 (mod 25)
a_5 = a_{4}^2 + 1 ≡ 1^2 + 1 = 2 (mod 25)
a_6 = a_{5}^2 + 1 ≡ 2^2 + 1 = 5 (mod 25)
よって、明らかに、 3 | n ⇔ a_n ≡ 5 (mod 25)
2022 = 674 * 3
よって、 a_2022 ≡ 5 (mod 25)
よって、 r_2 = 5
よって、 GCD(a_2022, (a_8091)^2) = 5
>>874 ,876
おそらく、(1)は、
ある整数を法として、 a_n を計算してみる
というヒントを与えているのだと思います。
3 とか 5 とかいう整数は別に何でも良かったのだと思います。
(2)では、a_n が a_k で割り切れるかどうかが問題です。
>>885 訂正します：
(2)では、a_n が a_k で割り切れるかどうかが問題です。
(1)でのヒント「ある整数を法として、 a_n を計算してみる」に従って、
a_k を法として a_n を計算してみると自然と答えが分かります。
>>879 Mathematicaの専門パッケージ購入しても駄目かな
各種特定分野にかなり特化できる見たいけど
こいつ他人の証明はガタガタいうくせに自分で証明付ける時はちょっと工夫して書けば消せる“明らかに”の連発
>>881 へ？ｗ
(1)はせめて数学的帰納法を持ち出さないといかんのじゃないの？
a_(k+3) = {(a_k^2 + 1)^2 + 1}^2 + 1
右辺のa_kの0次の項はa_kに0を代入すれば簡単に5だと
わかるので、a_k≡0 ⇒a_(k+3)≡0
a_3=5≡0 なので、nが3の倍数であればa_n≡0
(2)に関しても、n=k+lとすれば、
a_(k+l)=(...((a_k^2+1)^2 +1 }^2+1...)^2+1
右辺のa_kの0次の項をb_lとおくと、
b_1=1, b_(l+1)=b_l^2 + 1
つまり、b_l = a_l となっているので、
a_(k+l)≡b_l≡a_l (mod a_k)
l=kであれば、a_(k+k)≡0
(1)の議論と同様に,nがkの倍数であればa_n≡0
>>874 いきなりa_(n+l)≡a_l (mod a_n)に気づくかどうかは
確かに？だけど、気づく人は気づくんだろうねｗ
まじめな話、(1)を解く際に、数学的帰納法を使っていれば、
a_(n+3)においてa_nの0次の項がどうなるかを考えるわけだから、(2)においても同様の発想で、結果的に気がつくという
ことはあると思う。
(1)はヒントのための問題だとしか思えません。
(3)のヒントとして、(2)を出題する。
このクソみたいな実力でこの上から発言
現場では(1)がないとたぶん大変なので、難易度調整用でしょう
(1)を(2)のヒントとしてつけるなら、
そもそもヒントで難易度を調整しようという発想が間違っています。
>>896 のように素直にヒントを与えるのならいいのですが、それはヒントとして大きすぎるとかやりだすとこの問題のようにみっともなくなってしまいます。
なんか、おかしな人にレスしちゃってたみたいだな。
n次元立方体に内包されるm次元立方体の数ℓを一般化したいのですが出来ませんでした。数強さんお願い致します。 #知恵袋_
そもそも「内包される」などという言葉使われても何計算していいかわからん
海外の高校に行っているJK３なんですけど、、、
この問題がわかる方おられますでしょうか
https://imgur.com/rFgIH0E >>901 ありがとう。よろしくお願いします。
(0,0)=1 (1,0)=2 (2,0)=4 (3,0)=8 (4,0)=16 (5,0)=32 (6,0)=64
(1,1)=1 (2,1)=4 (3,1)=12 (4,1)=32 (5,1)=80 (6,1)=19
(2,2)=1 (3,2)=6 (4,2)=24 (5,2)=80 (6,2)=240
(3,3)=1 (4,3)=8 (5,3)=40 (6,3)=160
(4,4)=1 (5,4)=10 (6,4)=60
(5,5)=1 (6,5)=12
(6,6)=1
n-m<0の時はちょっとわかんなかったので考えてないです。
>>901 https://imgur.com/gallery/VfKtzip これでいかがでしょう。こうなりそうだなーって式は書いてますけど、これが正しいかも、そもそも書き方があってるのかもわかりませんが
この問題をお願いします
>>902 高校で、マクローリン展開なんてやるんですね。
でも、この問題、特にb.はひどい問題ですね。
その式を見つけさせて、数学的帰納法で証明せよという問題にすべきですね。
>>906 ,908
ありがとうございます！
ｃの答えは、m = 3/2 と -5/2ってことですね。
世界模試の問題なんですけど、クラスの誰もできてないです・・・
l(n,m)=2l(n-1,m)+l(n-1,m-1)
>>902 c. の計算です。
>>912 計算式までありがとうございます！
こんなに難しい計算なんですね・・・
めっちゃ尊敬です
>>915 ｂもありがとうございます！！
aはなんとか自力でできましたので、これで全部ＯＫです！
本当に助かりました～
>>853 ＞思われてる確率
確率はあなたの心の中にあります。
の実証例だねｗｗｗｗ
>>905 Cと２点で交わる直線の方程式はy=ax+b (a≠0)とおけるので、交点のx座標は
ax+b=1/xの解。x≠0より、ax^2+bx-1=0 の解α、βを考えると、
Mの座標を(X,Y)とすれば、X=(α+β)/2, Y= (1/α+ 1/β)/2 =（α+β)/(2αβ)
解と係数の関係から、α＋β=-b/a, αβ= -1/a また、αとβは異符号より、αβ=-1/a <0 ⇒ a>0 このとき、判別式D=b^2+4a >0は必ず２つの実解をもつ。
以上より、X=-b/(2a), Y =b/2 (a>0, bは任意）
よって、M(X,Y)は aを任意の正の実数として、Y = -aX 上の任意の点をとりうる
ので、Mが存在する領域は X>0かつY<0、X<0かつY>0、そして原点。
lim n^(1/n) = 1 と証明せよ。
>>924 頑張って難しい問題容易したのにねーwwww
∜5×√5×∛5²を簡単にしなさいって問題が分かりません至急ですお願いします
任意の自然数kに対して、kで割って1余る素数が少なくとも1つ存在することを示せ。
永田雅宜著『群論への招待』
このクズのダブスタwwww
自分で書いた
>>881-883 のクズぶり差し置いてよく言えるわ
>>930 その本は持っていないけどGの演算で単位元や逆元はただ一つということを最初の方で示していればHが同じ演算で群なら同じ単位元や逆元を持つということでないの？
俺がモテないのが全く持って理解できません
何よりかにより群論なんて基本的な理論勉強するのにあっちの教科書こっちの教科書フラフラフラフラ
>>930 以下のような議論が必要ですね。
1_H * 1_H = 1_H = 1_G * 1_H
G におけるright cancellation lawにより、 1_H = 1_G である。
a を H の任意の元とする。
a * (a_H)^{-1} = 1_H = 1_G = a * (a_G)^{-1}
G におけるleft cancellation lawにより、 (a_H)^{-1} = (a_G)^{-1 である。
気になるならそれで納得したらいいですけど
>>939-940 群 G の部分群 H の定義は、 H がそれ自身で群になっていることです。
定義に含まれていません。
どう考えてもお前が今相手にしてもらってる相手の方が数学力上なんなんでわからんねん？能無し
数列{a[n]},{b[n]},{c[n]}を、
なにそれ？
【訂正】
>>946 渾身の問題なのでよろしくお願いいたします。
>>946 (pqr)=(100)なら2,3,5入れ替わるだけでずっと互いに素
(pqr)=(111)ならa2=b2=c2=10であとは3倍になっていくだけ
互いに素な3数に一定の数を足しても互いに素だから
(pqr)=(100)+(111)=(211)でよいのでは
G, G' を群
この定理の証明ですが、
>>953 他の明らかなことには証明をつけているにもかかわらず、
>>952 の事実には証明をつけていません。
フェアじゃないですよね。
>>952 せめて、「明らかに、H/N が G/N の正規部分群である」や「明らかに、G'/H' と (G/N)/(H/N) とが同形である」と書くくらいはすべきです。
それすら書いていない本ばかりです。
G を群とする。
厳密といわれるブルバキの本にもこのような命題は書いていないんでしょうか？
G を群、 N をその正規部分群とする。
>>958 あ、これだと成り立たないかもしれないですね。
>>951 >f を G から G' への準同型写像
全射？
G を群、 N をその正規部分群とする。
>>960 あ、全射準同型でないと駄目ですね。
ありがとうございます。
>>959 G = G' = Z （加法群）
N = Z
N' = 2*Z
恒等写像は Z から Z への同型写像。
N ∋ n → 2*n ∈ 2*Z は同型写像。
G/N = 単位群
G/N' = Z/2*Z
これらは同形ではない。
ということでいかにも成り立ちそうな
>>958 が成り立たないわけです。
ですから、
>>958 と似た命題である
>>961 はちゃんと証明する必要があると思います。
が、証明している本がありません。
>>965 >いかにも成り立ちそうな
え？成り立ちそうに思えないけど
同型写像1つ決めないと
鈴木通夫著『群論』ってどうですか？
というか一つの本に全青春をかけるくらいの気持ちで本というのは取り組むもんだ
連立方程式
>>940 J. J. Rotman著『An Introduction to the Theory of Groups』
では、部分群の定義が以下です：
G を群とする。 S を空でない G の部分集合とする。
s ∈ S ⇒ s^{-1} ∈ S
s, t ∈ S ⇒ s * t ∈ S
が成り立つとき、 S を G の部分群という。
そして、この定義のすぐ後に、以下の定理が来ます：
定理1
S が G の部分群 ⇒ S はそれ自身、群である。
部分群をRotmanの本のように定義するならば、確かに、定義に含まれますが、「S はそれ自身、群である」を G の部分群の定義にすると、
当然、 1_G ∈ S などは証明しなければなりません。
永田雅宜さんの本では、証明すべきことが証明されていないわけです。
やはり高齢の方の書いた本は避けるべきということでしょうか？
>>952 H/N が G/N の正規部分群であることを証明している本がありません。
f:G/N → G/H gN→gH （N⊆H）
H/NはKerfだからG/Nの正規部分群であるのはすぐわかるでしょう。
3次方程式
自分の書架にある
そもそも“教科書を読む”とは”適切な行間の巾”を感じとる作業なのだ
>>977 星のうんこぅはお好きですか？
マドモアゼル愛←男性です。
興味がおありですか？
そんなロマンチックな貴方は
♓魚座かなにか？
>>978 助けて！ｫ賢者様ﾝ!
14星座のホロスコープ、何年ググってもﾋｯﾄしません!
ちょこっと作って広告料稼いでみてくれても…ばれへんか…
作ってくれよな～頼むよ～
そのくらいﾁｮﾛｨんでしたっけね、諸賢さん?
>>972 どういう状況を言わんとしているか分かれば
定義の条件がどれだけ少なくできるかとか
意味ないことも理解できると思うけどね
>>975 (x-a)(x-b)(x-c)=0
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
x^3+ax^2+bx+c=0
係数を比較して
a=-a-b-c
b=ab+bc+ca
c=-abc
よってb=-2a-c,b=ca/(1-a-c),b=-1/a
この連立方程式が解けません
よろしくお願いします
3次方程式f(x)=0は相異なる3つの素数を解に持つ（素数は正とする）。
群の定義は
>>982 c=-abc
c(1+ab)=0
c=0
a=-a-b
b=ab
b(1-a)=-2a(1-a)=0
(a,b,c)=(0,0,0)(1,-2,0)
ab=-1
(a,b)=(1,-1)(-1,1)
c=-2a-b=-1,1
(a,b,c)=(1,-1,-1)(-1,1,1)
-1=-1+1-1 OK
1=-1+1-1 NG
(a,b,c)=(0,0,0)(1,-2,0)(1,-1,-1)
>>982 >(x-a)(x-b)(x-c)=0
これでいいのかな？
x=a,x=b,x=cを解に持つというのはこれらが解であることの意？
それとも解のすべてがちょうどx=a,x=b,x=cであるということ？
後者の解釈で解いているけれど
前者の解釈なら
a^3+a^3+ab+c=0
b^3+ab^2+b^2+c=0
c^3+ac^2+bc+c=0
から始めるべきでは無いだろうか
c^3+ac^2+bc+c=0
>>830 G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。
このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。
---------------------------------------------------------------------------------
p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。
n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。
k ≧ 2 とする。
n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。
n = k の場合を考える。
Z(G) |
>>830 G を群とする。
#G = p^n とする。
すると、 Z(G) ≠ {e} が成り立つ。
このことを使って、 G はすべての i ∈ {0, 1, …, n} に対して、位数が p^i であるような部分群を持つことを示せ。
---------------------------------------------------------------------------------
p を任意の素数とし、 #G = p^n とする。
n = 0, 1 のときには、明らかに、上の主張は成り立つ。
k ≧ 2 とする。
n = k - 1 のときには上の主張が成り立つと仮定する。
n = k の場合を考える。
#Z(G) | #G = p^k かつ 1 < #Z(G) だから、 #Z(G) = p^l, l ≧ 1 である。
Z(G) はアーベル群であり、 p | #Z(G) だから、アーベル群に対するコーシーの定理により、位数が p である元 a を Z(G) は含む。
i ∈ {1, …, k} とする。
φ : G → G/<a> を標準的な全射準同型とする。
#(G/<a>) = p^{k-1} だから、帰納法の仮定により、 G/<a> は位数が p^{i-1} であるような部分群 H' を持つ。
群の対応定理により、 H := f^{-1}(H') と置くと、 H は G の部分群であり、
H/Ker φ = H' が成り立つ。
Ker φ = <a> だから、
H/<a> = H' が成り立つ。
#(H/<a>) = #H / #<a> = #H' = p^{i-1}
∴ #H = #<a> * p^{i-1} = p^i
以上より、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。
G は単位群を部分群に持つから、 i = 0 のときにも、 G は位数が p^i であるような部分群を持つ。
>>986 a≠b≠c≠aなら
(x-a)(x-b)(x-c)となるから
>>985 の考察からこうなるのは(a,b,c)=(1,-2,0)のみ
a=b=cなら
2a^3+a^2+a=0
a(2a^2+a+1)=0
より(a,b,c)=(0,0,0)のみ
あとはa,b,cのうち2つが等しい場合
a=b≠c≠0なら
2a^3+a^2+c=0
c^2+ac+a+1=0
(2a^3+a^2)^2-a(2a^3+a^2)+a+1=0
よりa=1,-1
(a,b,c)=(1,1,-3)(-1,-1,1)
(-3)^2-3+1+1=0 NG
1^2-1-1+1=0 OK
b≠a=c≠0なら
2a^2+b+1=0
2a^3+ab+a=a(2a^2+b+1)=0
b=-(2a^2+1)≠a=c≠0
b^3+ab^2+b^2+a=0
b^2(b+a+1)+a=0
(2a^2+1)^2(-2a^2+a)+a=0
(2a^2+1)^2(-2a+1)+1=0 NG
a≠b=c≠0なら
b^2+ab+b+1=(b+a+1)b+1=0
b=1,-1
(a,b,c)=(-3,1,1)(1,-1,-1)
2(-3)^3-3+1=0 NG
>>985 より(1,-1,-1) OK
結局追加されるのは(a,b,c)=(-1,-1,1)の場合だけか
矢野健太郎先生の「社会科学者のための基礎数学」で自習していますが、以下の証明問題がわかりません。
f(x)=x^3+3x^2+2x+7を割り切る2次多項式で、係数（定数項も含める）がすべて正の実数であるものは存在するか。
f(-3)=1よりx<-3に解x=αを持つ
定理6.2の後半
>>994 訂正：それをxn≠0とする。→ それをxi≠0とする。
任意の実数cに対して
AがBの必要十分条件であるとき、AとBは同値であると言って良いですか？
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